数値解析におけるニッチェの方法の一般的な考え方は何ですか？

ニッチェの方法は、ラグランジュ乗数を使用せずにディリクレ型境界条件または摩擦境界条件との接触を弱い方法で考慮することができるため、非常に魅力的な方法であることを知っています。また、その利点は、ディリクレ境界条件をノイマン境界条件と同様に弱い項に変換することですが、実装がモデルに依存しているという事実によって支払われます。

しかし、私には一般的すぎるようです。この方法のより具体的なアイデアを教えていただけますか？簡単な例をいただければ幸いです。

— アンティディン
ソース

私はあなたの質問をよく理解していないと思います。メソッドが発明された理由を正しく特定します（ディリクレ条件を弱い形式で処理するため）。「しかし、私には一般的すぎるようです。この方法のより具体的なアイデアを教えてもらえますか？簡単な例は高価です。」とはどういう意味ですか？

— ウォルフガングバンガース

@WolfgangBangerth：このアイデアには（単純な）例が必要です。私にとってはとても抽象的です。

— アンティDINH

@Oliver：「親愛なる」、「貴重な」、つまり「感謝する」のように、「費用がかかる」という意味だと思いますか？私は言葉を変える自由を取りました。同意できない場合は、編集をロールバックしてください。

— クリスチャンクラソン

Nitscheのメソッドは不連続Galerkinメソッドに関連しており（実際、Wolfgangが指摘しているように、これらのメソッドの前身です）、同様の方法で導出できます。最も単純な問題、ポアソンの方程式を考えてみましょう：現在、変分定式化を探しています

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} - Δ u & = f on Ω, \\ u & = g on \partial Ω . \end{aligned} \end{matrix}

$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$

（弱）溶液によって満たされる、（すなわち、一致します） $u\in H^1(\Omega)$
とで対称、 $u$ $v$
一意の解決策を認めます（双線形形式が強制的であることを意味します）。

我々は、テスト関数によって乗算、微分方程式の強い形を取ることによって、通常通り起動と部分積分します。右側から始めて、我々は得る $v\in H^1(\Omega)$ ここで、最後の方程式で、境界に生産的ゼロを追加しました。別線形および双線形形態に用語を再配置することは今溶液満たされる対称双線型形式のための変分方程式を与えるの

\begin{aligned} (f, v) = (- Δ u, v) & = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s \\ = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} (u - g) \partial_{ν} v d s \end{aligned}

$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$

0 = u - g

$0=u-g$

u \in H^{1} (Ω)

$u\in H^1(\Omega)$

(1)

$(1)$ 。

あなたは以下からそれをバインドすることはできませんので、双一次形式は、しかし、強制されていないすることにより（私たちは任意のための任意の境界条件はありませんよう、私たちは使用できません。通常のポアンカレの不等式-これは、双線形形式を変更せずにノルムの部分を任意に大きくできることを意味します）。：私たちは真の解決のために消え、別の（対称）用語を追加する必要がありますので、 $u=v$ $c\|v\|_{H^1}^2$ $v\in H^1(\Omega)$ $L^2$ いくつかのための十分な大きさ。（対称、一貫した、保）弱い製剤このリードは：検索ように $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$ $\eta>0$ $u\in H^1(\Omega)$

(\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} u \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} u v d s = - \int_{\partial Ω} g \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} g v d s + \int_{Ω} f v d x for all v \in H^{1} (Ω) .

$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$

$u,v\in H^1(\Omega)$ $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ $\eta$ $ch^{-1}$ $c>0$

（これは、不連続ガラーキン法より前にあり、同等の最小化問題から始まるNitscheの元の派生ではありません。実際、彼の元の論文は、対応する双線形形式についてはまったく言及していませんが、例えば、フロイントとステンバーグで見つけることができます、二次問題のために弱く課せられた境界条件について、第9回流体工学の会議、ヴェネツィア、1995年、M。Morandi Cecchi et al。、Eds。pp。327-336。）

— クリスチャン・クラソン
ソース

最初の文は間違っていませんが、歴史的に不正確です。Nitscheのアイデアが最初に現れ、不連続なGalerkinメソッドの開発に影響を与えました。とはいえ、これは他の点では優れた答えを奪うものではありません。

— ウォルフガングバンガース

@WolfgangBangerthもちろんあなたは正しいです。因果関係は暗示されず、相関関係のみが暗示されました。しかし、特に他の方法でショートシフトになった人々には、適切な帰属を与えることが重要です。これを明確にするために編集します。

— クリスチャンクラソン

質問：1.境界条件を追加する前に、保磁力の問題について詳しく説明してください。2.ここでの「不適合」とはどういう意味ですか？3.安定性は、双線形形式の保磁力の自動結果であると読んだと思いました。この説明は非常に優れていますが（実際に私が見つけた唯一の説明）、比較のためにメソッド（および/またはその派生）の別の全体的な説明にリンクできますか？元の論文を見つけられたとしても、それが大いに役立つかどうかはわかりません。フロイントとステンバーグの論文は、短いあらすじとカップルに特化したもののみを提供しています

— 夜

V_{h}

$V_h$

H_{g}^{1} (Ω)

$H_g^1(\Omega)$

@Nights回答を編集して、あなたのポイントに対処しました（明らかに、2番目の段落の例外を除く）。

— クリスチャンクラソン