双曲線空間の点をサンプリングする方法は？

ポアンカレ上半分の空間モデルの双曲線空間は通常のように見えますが、角度と距離の概念は比較的単純な方法で歪んでいます。ユークリッド空間でIは、例えば、生成することにより、いくつかの方法でボールに一様ランダム点をサンプリングすることができ方向を得るために、独立したガウスサンプル、別途座標半径サンプリング一様にサンプリングすることによってから $\Bbb R^n$ $n$ $r$ $s$ $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ 、ここで $R$ は半径であり、設定 $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ 。双曲線上半平面では、球体はたまたま球体であり、その中心だけがユークリッドメトリックの中心にはならないので、同じことができます。

非均一な分布に従ってサンプリングしたいが、ガウス分布などの等方性の方法では、これはそれほど簡単ではないように見えます。ユークリッド空間では、座標ごとにガウスサンプルを生成するか（これはガウス分布でのみ機能します）、または同等に多次元ガウスサンプルを生成できます。このサンプルを双曲線空間のサンプルに直接変換する方法はありますか？

別のアプローチは、最初に均一に分散された方向を生成し（たとえば、 $n$ ガウスサンプルから）、次にラジアルコンポーネントのガウスサンプルを生成し、最後に、指定された方向の指定された長さの指数マップの下でイメージを生成します。バリエーションは、ユークリッドガウスサンプルを取り、それを指数マップの下にマッピングすることです。

私の質問：

双曲線空間の特定の平均と標準偏差でガウスサンプルを取得するための良い効率的な方法は何でしょうか。
上記で説明した方法では、目的のサンプリングが提供されますか？
誰かがすでに式を解決しましたか？
これは他のメトリックおよび他の確率分布にどのように一般化されますか？

前もって感謝します。

編集

私は、一様にサンプリングした場合でも、これらの質問が残っていることに気づきました。球が球であるとしても、均一な分布はボール上の定数関数によって記述されません。

— Doetoe
ソース

@はい、コメントありがとうございます。すべてのトポロジー空間には、トポロジーによって生成されたボレルシグマ代数があります。リーマン計量は、ボリュームの概念を提供します。総体積が有限である場合、これを正規化して確率分布を得ることができます。または、より一般的には、測定可能な有限体積のセットで均一な確率分布を直接提供します。測地線や弧の長さの概念を含む幾何学的構造があるので、ユークリッド空間と同じように距離で減衰する確率密度でガウス分布を定義することもできます

— doetoe

@yesボールモデルでボールの中心の周りをサンプリングしてから、それをアイソメトリを介して転送する方が簡単な場合があります。少なくとも中心の周りのユークリッド回転と双曲線回転が一致します。これが本当に最も効率的である場合、問題は、双曲線メトリックの正規分布に従ってディスクモデルの中心の周りをサンプリングする方法に減少します。

— doetoe

ここでサンプルを生成するために、Mark Girolamiのリーマン多様体MCMCを適合させることができるはずです。しかし、それはやり過ぎかもしれません。MCMCを行いますが、現在のポイントから測地線を発射して提案を生成します。

— Nick Alger

@NickAlger、面白そうですね、リンクはありますか？

— doetoe

これに関する彼の主な論文は次のとおりです。それらは、フラットスペース上の不均一な分布をサンプリングする問題を、多様体上の均一な分布をサンプリングする問題に変換しますが、多様体上の均一な分布から始めます。rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/...

— ニック・アルジェ

私は自分のためにこれをしている最中です。ガウシアンの最も適切な類似物は、双曲線空間の熱核だと思います。幸いなことに、これは以前にわかっていました：https : //www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf（ロンドン数学会の速報でも利用可能）。

$e^{-dist^2/constant}$

{(\frac{2}{1 - | | x | |^{2}})}^{n} d x_{1} \dots d x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

次に、原点を中心とする半径3のボールの均一なサンプルを示します。

必要に応じて、さらにお話しさせていただきます。少なくとも過去には、これにいくらか興味があったので、私はこれを立てると思いました。

— エドワード・チェン
ソース

感謝！いいね記事を学ぶ時間はまだありませんでしたが、興味深く関連性があるように見えます

— doetoe

σ / 2

$\sigma / 2$

定数piは、ユークリッド空間の定数です。piの値は他のジオメトリでは異なります。パラメータpiは、ガウス分布の下で確率質量を変更します。パラメータpiは、確率を正規化するために使用されます。私はこれを研究し始めたばかりです。

少し前に、シグマの数が増えると、空間が双曲線からユークリッドへ、球へと変化すると結論しました。パラメータpを介して、Lp空間の関数として、各空間とpiの円についての議論に出くわしたことは幸せでした。

— デビッドWロック
ソース