加重SVD問題？

2つの行列と与えられた場合、ようなベクトルとを見つけたいと思います行列形式では、Iは、のフロベニウスノルム最小化しようとしている $A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

。

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

一般に、の形式で複数の単位ベクトルおよびを見つけたいここで、は正の実係数です。 $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$

s_{i}

$s_i$

これは、場合の特異値分解（SVD）と同等です。 $(B)_{ij} = 1$

誰もこの問題が何と呼ばれているのか知っていますか？このような問題を解決するためのSVDのような有名なアルゴリズムはありますか？

（math.SEから移行）

linear-algebra matrix reference-request

— メミング
ソース

これは一般化SVDだと思います。ウィキペディアのエントリはあまり詳細ではないため、おそらくリンクされたソースを確認する必要があります。特に、このGoogleブックスのリンクの 466ページが役立つ場合があります。

— エリー

私には、これは一般化されたSVDのようには見えません。特に、Bは必ずしも対角線または対称ではないため、各またはは合計で何度も現れる可能性があります。

x

$x$

y

$y$

— ビクター

一般化SVDでは、Bは対角線である必要も対称である必要もありません。私が提供したリンクの両方は、AとBがそれぞれM行N列とP行N列の次元の一般的な複素数値行列になることを示しています。

— エリー

@EMSの提案に感謝します。接続を詳しく説明していただければ幸いです。

— Memming

これは、一般化されたSVDとはほど遠いものです。

Bが正行列の場合、私のパッケージBIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/を使用できます

http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdfでその方法を説明している論文には、文献検索を検討する可能性のある参考文献も記載されています。

— アーノルド・ノイマイアー
ソース

ああ、問題を重み付き低ランク近似に変換します！どうもありがとう！

— Memming

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

はい。これにより、問題の名前がわかりやすくなります。それを解決する方法は別の問題です。これは標準的な問題ではなく、高速で信頼性の高いアルゴリズムを見つけるのは非常に困難でした。

— アーノルドノイマイアー

@ArnoldNeumaierこれは素晴らしいです、ありがとう。あなたのコードでライセンスと著作権表示を取得することは可能でしょうか？現在はプロプライエタリなソフトウェアです。GPLv3または互換性のある環境でリリースすると、GNU Octaveの線形代数パッケージに移行する可能性があります。

— JuanPi