線形プログラムに

16

仮に

\begin{aligned} min A & v e c (U) \\ subject to U_{i, j} \leq max {U_{i, k}, U_{k, j}}, i, j, k = 1, \dots, n \end{aligned}

$\begin{align*} \min A &\mathrm{vec}(U) \\ &\text{subject to } U_{i,j} \leq \max\{U_{i,k}, U_{k,j}\}, \quad i,j,k = 1, \ldots, n \end{align*}$

ここで、は対称行列であり、をエントリの1次元ベクトルに再整形します。 $U$ $n\times n$ $\mathrm{vec}(U)$ $U$ $n^2$

上記のプログラムの中で問題を引き起こす部分はです。（非負の対称行列の解を制限するのは簡単なようです。） $\max\{⋅,⋅\}$

ヘルプや参考文献を事前に感謝します！

optimization linear-programming

— N21
ソース

両方の制約を追加できない理由は何ですか？

— アロンアーマディア

1

@AronAhmadiaは：それは、と等価になるので、彼は、両方の制約を追加することができない

すべてのための

。この問題のLPの再定式化はないと思いますが、MILPの再定式化があるかもしれません。

U_{i, j} \leq min {U_{i, k}, U_{k, j}}

$U_{i,j} \leq \min\{U_{i,k}, U_{k,j}\}$

i, j, k

$i, j, k$

— ジェフオックスベリー

@ N21：解決したい問題に対する

大きさをどのくらい期待していますか？

n

$n$

— ジェフオックスベリー

@ジェフ：ありがとう！私は最終的には大規模な持っていると思ってい

、しかし、今、私はほとんどと予備的な解決策を得るために心配だ

100、あるいは10言う、未満

n

$n$

n

$n$

— N21

@GeoffOxberryを明確にしてくれてありがとう、投稿する前にそれを完全に考えていませんでした。

— アロンアフマディア

14

編集：この説明をもう一度試してみましょう。今回はもっと目が覚めています。

製剤には3つの大きな問題があります（重大度の順に）。

問題の明らかな再定式化はなく、明らかに滑らか、凸状、または線形です。
滑らかではありません。
必ずしも凸状ではありません。

明らかな滑らか/凸/線形の再定式化なし

まず、各制約の標準的な明白な再定式化はありません。アロンの提案は、より一般的に適用されるのような制約する制約、次の2つの等価な不等式で置換されている $\max$ $\min$

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

U_{i j} \leq U_{i k}, \forall k

$U_{ij} \leq U_{ik}, \quad \forall k$

再定式化は理想的ではありません。各

制約は

線形制約に置き換えられていますが、非滑らかな非線形プログラムを線形プログラムに変換します。

U_{i j} \leq U_{k j}, \forall k .

$U_{ij} \leq U_{kj}, \quad \forall k.$

min

$\min$

2 n

$2n$

ヴォルフガングは、スラック変数を追加することで線形で滑らかになるように制約を再定式化することは可能だと指摘しています（彼は証拠を含みません）。元の定式化の制約ごとにスラック変数を追加する必要があります。これは、この再定式化で制約を追加することを意味します。さらに、すべての制約は（または）線形制約に置き換えられます。実際のキラーは、非平滑性が制約から目的に移動するため、Wolfgangの定式化により非平滑な非線形プログラムが生成されることです。 $\max$ $\max$ $n^2$ $\max$ $2n$

私が知っている最小化問題には制約の標準的な再定式化はありません。私の線形計画の教科書をチェックし、文献検索を行ったからです。それは、そのような再定式化が存在しないという意味ではありません。それは私がそれに出会っていないことを意味します。推測しなければならないなら、LPの定式化は存在しないと思います。 $\max$

滑らかでない

これに関連して、非平滑性とは、定式化の関数（目的または制約）の少なくとも1つが2回連続で微分可能でないことを意味します。この定式化の滑らかでない関数は関数です。 $\max$

以下の理由により、非平滑性は大きな問題です。

すぐに問題が非線形になります
ほとんどの非線形プログラミングソルバーは、2回連続して微分可能な関数を想定しています

$\max$

可能性のある非凸

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

U_{i j} - max_{k} {U_{i k}, U_{k j}} \leq 0, \forall i, j, k .

$U_{ij} - \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} \leq 0, \quad \forall i,j,k.$

これらの関数は凹型です。

$-U_{ij}$ $\max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

$\mathbf{g}$

問題を解決するためのオプション

$U_{i j} \leq max_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k$ $U_{ij} \leq \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k$ $U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k,$ $U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k,$
スムーズでないプログラム用のバンドルソルバーを使用して、定式化で運を試してください。私は、これらのタイプのソルバーの経験はあまりありません。（私の同僚は彼の研究でそれらを使用しています。）彼らは派生情報を使用できないため、おそらく遅いでしょう。（代わりにsubgradientまたはClarkeの一般化された勾配情報を使用すると思います。）また、バンドルソルバーで大きな問題インスタンスを解決できる可能性は低いです。

— ジェフ・オックスベリー
ソース

1

ジェフ、いいもの。これは重要なポイントに当たり、多くの建設的な洞察と提案を提供します。私はそれを投票しました。しかし、あなたは、非凸性を、「私が知っている最小化問題には最大制約の標準的な再定式化はない」という事実とは別のものとして扱っているようです。しかし実際には、前者がまさに後者が不可能な理由です。非凸拘束は線形計画法では表現できません---完全停止！これは非凸問題であり、混合整数問題またはその他のヒューリスティックの適用として再定式化する必要があります。

— マイケルグラント

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(x) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

1

x \leq max {y, z}

$x \le \max\{y,z\}$

(x, y, z)

$(x,y,z)$

1

max {y, z}

$\max\{y,z\}$

3

$-\infty$

U = (\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 \end{matrix}) .

$U=\left(\begin{matrix} 1&\cdots &1\\ \vdots & & \vdots\\1&\cdots&1\end{matrix}\right).$

A \cdot vec (U)

$A\cdot\mbox{vec}(U)$

U

$U$

t

$t$

\pm U

$\pm U$

min_{V} (A \cdot vec (V)) \leq m i n_{t} (A \cdot vec (t U)) = - \infty

$\min_V(A\cdot\mbox{vec}(V)) \le min_{t}(A\cdot \mbox{vec}(tU))=-\infty$

— デスブレス
ソース

U

$U$

- \infty

$-\infty$

U

$U$

\leq 0

$\le 0$

2 tr ({\hat{A}}^{*} U) = ‖ \hat{A} - U ‖^{2} - ‖ \hat{A} ‖^{2} - ‖ U ‖^{2}

$2\mbox{tr}(\hat{A}^\ast U)=\|\hat{A}-U\|^2-\|\hat{A}\|^2-\|U\|^2$

2

$f \le \max \{ f_1, f_2,...,f_n \}$ $n$ $b_i \in \{0,1\}$ $1 \le i \le n$ $M$ $f$

$f \le f_i + (1-b_i) M, \forall i$

$\sum_i b_i = 1$

$M := max_i f_i - min_i f_i$ $f_i$

— ケビン
ソース

1

x_{i} <= max (a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$x_i <= \max(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})$

x_{i} <= s_{i}

$x_i <= s_i$

s_{i} >= a_{i 1}

$s_i >= a_{i1}$

s_{i} >= a_{i 2}

$s_i >= a_{i2}$

. . .

$...$

s_{i} >= a_{i n}

$s_i >= a_{in}$

c * max (s_{i} - max (a_{i}), 0)

$c*\max(s_i-\max(a_i), 0)$

s_{i} - max (a_{i})

$s_i-\max(a_i)$

c

$c$

$s_i>=\max(a_i)$ $x_i=s_i$ $s_i-\max(a_i)$ 実行不可能な領域に入る問題のために。）

— ウルフギャング・バンガース
ソース

いい考えだね。あなたの証明が通過すると仮定すると、問題は非線形性と非平滑性を制約から目的に移動することになります。どちらもまだ定式化において望ましくない品質です。

— ジェフオックスベリー

a_{i j}

$a_{ij}$

(x_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

(x_{i}, s_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,s_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

1

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$log(x)<5$

凸集合の場合、Dykstra's_projection_algorithmのようなものを使用して目的の関数で勾配降下を実行し、制約の空間に投影し直すことができます。

— ティム
ソース

凹関数に関するコメントに賛成。説明についてもっと考えるべきだった。実行可能なセットに投影することは可能ですが、スムーズでない制約でこれらのアルゴリズムを適用できるかどうかは頭の外ではわかりません。

— ジェフオックスベリー

x^{2} + y^{2} < 5

$x^2+y^2<5$

「非凸問題は、NP数の可能な解決策がある場合にのみNP困難です。」NPは「非決定的多項式」の略です。私はあなたが話していることについて完全に迷っています。第二に、線形関数は凹面と凸面であるため、凹面について言及しました。関数は凸型ではありません。関数が滑らかでなく、区分的線形であるからといって、LPの再定式化が存在する可能性がすぐに除外されるわけではありません。

— ジェフオックスベリー

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

申し訳ありませんが、コメントを簡略化する必要があったため、NPを非多項式に、Pを多項式に使用しました。ポイントは、非凸最適化は常にNP困難ではないということでした。可能な解の数が多項式よりもひどい場合にのみNP困難です。混乱して申し訳ありません:)線形としての再定式化は正しいです。「その結果、プログラムを線形プログラムとして再定式化する方法はありません」と言っているように見えますが、非凸性のため、凸性ではなく線形性に関連していることに気づきました。

— ティム

0

$-\infty$ $0$

$U \ge 0$ $A$ $n$ $-\infty$ $0$

$a \le b \le c$ $c \le \max(a,b)$ $b=c$ $i,j,k$

$U_{ij} < U_{jk} = U_{ik}$
$U_{ik} < U_{jk} = U_{ij}$
$U_{jk} < U_{ik} = U_{ij}$
$U_{ij} = U_{jk} = U_{ik}$

$t$ $G(t)$ $U_{ij}=t$ $U_{ij}=U_{j k}=t$ $\ell$ $U_{j \ell}=t$ $U_{i\ell}=U_{k\ell}=t$ $G(t)$

— PS
ソース