回答:
この回答は（長いため）ジャックポールソンのコメントに部分的に応答し、部分的に質問に回答します。
区間演算は、ある区間での実数値関数の区間拡張が同じ区間でその関数の画像を囲むという意味でのみ、計算量に厳密な境界を与える計算手順です。何も計算しないと、区間演算は計算の数値誤差に影響を与える要因についての洞察を与えることができませんが、Highamの本やその他の定理は、潜在的に弱い境界を犠牲にして数値誤差に影響を与える要因の洞察を与えます。確かに、区間演算を使用して取得された境界も、いわゆる依存関係の問題のために弱い場合がありますが、時にははるかに強い場合もあります。たとえば、統合パッケージCOZY Infinityを使用して取得された間隔の境界Dahlquistの結果から得られる数値積分で得られるタイプの誤差範囲よりもはるかに厳密です（詳細については、Hairer、Wanner、およびNørsettを参照）。これらの結果（特にパートIの定理10.2および10.6を参照）は、エラーの原因についてより多くの洞察を提供しますが、COZYを使用する境界は厳密である可能性がありますが、境界は弱いです。（いくつかのトリックを使用して、依存関係の問題を緩和します。）
区間演算が行うことを説明するとき、「証明」という言葉を使用するのをためらいます。区間演算に関連する証明がありますが、外向きの丸めを伴う区間演算を使用して結果を計算することは、実際には控えめに関数の範囲を制限するための簿記の手段にすぎません。区間計算は証明ではありません。それらは不確実性を広める方法です。
アプリケーションに関する限り、化学工学におけるStadtherrの研究に加えて、間隔計算も粒子ビーム実験の境界の計算に使用されています（COZY Infinity WebサイトにリンクされているMakinoとBerzの研究を参照）。Bartonによるグローバル最適化および化学工学設計アプリケーション（とりわけ）で使用されます（リンクは出版物のリストへ）、Neumaierによる宇宙船の設計およびグローバル最適化（とりわけ）で使用されます（リンクは出版物のリストへです） ）、Kearfottによるグローバル最適化および非線形方程式ソルバー（出版物の別のリスト）、および不確実性の定量化（さまざまなソース。Bartonもその1つです）。
最後に、免責事項：バートンは私の論文アドバイザーの一人です。
区間演算は、数学的厳密性を備えた証明を提供します。
実際のアプリケーションの良い例は、Mark Stadtherrと彼の研究グループの仕事です。特に、相平衡法と安定性の計算は、区間法でうまく解決されています。
ALIASのWebサイトには、物理的な背景に関するベンチマークの素晴らしいコレクションがあります。
区間演算とその一般化のもう1つの機能は、関数の領域の適応探索を可能にすることです。したがって、コンピュータグラフィックスから例を挙げるために、適応幾何学モデリング、処理、およびレンダリングに使用できます。
区間法は、ローレンツアトラクターやケプラー予想にカオスが存在するなど、最近のハード数学定理の証明で取り上げられています。これらおよびその他のアプリケーションについては、http：//www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdfを参照してください。
区間演算は、幾何学的アルゴリズムに非常に役立ちます。そのような幾何学的アルゴリズムは、入力として幾何学的オブジェクトのセット（たとえば、ポイントのセット）を取り、ポイント間の空間的関係に基づいて組み合わせデータ構造（たとえば、三角形分割）を構築します。これらのアルゴリズムは、「述語」と呼ばれる少数の関数に依存します。これらの関数は、入力として固定数の幾何学的オブジェクトを受け取り、離散値（通常は「above、aligned、below」のいずれか）を返します。このような述語は通常、ポイントの座標の決定要因の符号に対応します。
標準の浮動小数点数を使用するだけでは十分ではありません。行列式の符号を正確に計算できず、さらに悪いことに、インコヒーレントな結果を返します（つまり、AがBを上回り、BがAを上回り、アルゴリズムを作成します）メッシュの代わりに混乱！）。多精度（Gnu Multi-Precisionライブラリおよび多精度浮動小数点数へのMPFR拡張など）を体系的に使用することはできますが、パフォーマンスが大幅に低下します。（ほとんどの場合のように）幾何学的述語が何かの記号である場合、区間演算を使用すると、より高速な計算が可能になり、区間にゼロが含まれる場合にのみ、より拡張的な多精度計算が開始されます。
このようなアプローチは、いくつかの大きな計算ジオメトリコード（たとえばCGAL）で使用されます。