RRT *は、最小クリアランスコストメトリックの漸近的最適性を保証しますか？

最適なサンプリング・ベースの動作計画アルゴリズム説明本論文では）、計画時間の増加に伴って最適経路に収束衝突のない経路をもたらすことが示されています。ただし、私が見る限り、最適性の証明と実験では、パスコストメトリックが構成空間のユークリッド距離であると仮定しています。RRT ∗は、パス全体の障害物からの最小クリアランスを最大化するなど、他のパス品質メトリックの最適性プロパティも生成できますか？$\text{RRT}^*$$\text{RRT}^*$

最小クリアランスを定義するには：簡単にするために、ユークリッド空間を動き回るポイントロボットを考えます。衝突のない構成空間にある構成については、ロボットと最も近いC障害物間の距離を返す関数d （q ）を定義します。パスのためのσ、最小クリアランスmin_clear （σは）の最小値であるD （Q ）すべてについてのq ∈ σ。最適な運動計画では、パスに沿った障害物からの最小クリアランスを最大化することをお勧めします。これは、いくつかのコストメトリックを定義することを意味します$q$$d(q)$$\sigma$$\text{min_clear}(\sigma)$$d(q)$$q \in \sigma$ように、Cの増加最小クリアランスが減少するにつれて。1つの単純な関数は c （σ ）= exp （− min_clear （σ ））になります。$c(\sigma)$$c$$c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$

RRT ∗を紹介する最初の論文では、証明が成立するように、パスコストメトリックについていくつかの仮定が行われています。前提条件の1つはコストメトリックの加算性に関するもので、上記の最小クリアランスメトリックには当てはまりません。ただし、アルゴリズムについて説明した最近のジャーナル記事では、以前の仮定のいくつかがリストされておらず、最小クリアランスコストメトリックもアルゴリズムによって最適化されているように思われました。$\text{RRT}^*$

の最適性の証明が最小クリアランスコストメトリック（おそらく上記で与えたものではなく、同じ最小値を持つ別のメトリック）を保持できるかどうか、またはアルゴリズムの有用性をサポートするために実験が実行されたかどうかを知っていますか？そのようなメトリック？$\text{RRT}^*$

$a|b$$a$$b$$c(\cdot)$$c(a|b)=min(c(a),c(b))$

参照する（参照1）：

$\sigma_1$$\sigma_2$ $\in X_{free}$$c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

どちらになりましたか（参照3、問題2）：

$\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

最小クリアランス距離の場合はまだそうではありません。

更新：パスコストの緩和された制限を考えると、提案されたexp（-min_clearance）は問題ないようです。

で前の回答、私たちは、コスト関数は、次のように定義することを同意するようになりました

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

このメトリックの下で漸近的な最適性を得るためにRRT *に必要な特性を満たします。

ただし、RRT *について説明しているIJRRの記事を確認すると、このコスト関数は、記事で行われた仮定を技術的に満たしていません。具体的には、このコスト関数は次のように定義された有界性プロパティに違反しています。

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$$q$$\sigma_0$$c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

RRT *がそのようなコスト関数のもとで漸近的に最適な解を生み出さないのか、それともそれらの仮定が論文の最適性の証明を単純化するかもしれないのだろうか。