EKFの共分散行列？

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私は共分散行列の概念に苦労しています。これで、、、およびは、不確実性を表します。たとえば、の場合、xの値の不確実性を表します。さて、残りのシグマについての私の質問、それらは何を表していますか？ゼロの場合、どういう意味ですか？がゼロの場合、xの値について不確実性がないことを意味すると解釈できます。

Σ = [\begin{matrix} σ_{バツ バツ} & σ_{バツ y} & σ_{バツ θ} \\ σ_{y バツ} & σ_{y y} & σ_{y θ} \\ σ_{θ バツ} & σ_{θ y} & σ_{θ θ} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{y y}

$\sigma_{yy}$

σ_{θ θ}

$\sigma_{\theta \theta}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

注意、私はロボット運動の原理-理論、アルゴリズム、実装をHowie Choset et。等、それは

この定義により、 $\sigma_{ii}$ はと同じ $\sigma_{i}^{2}$ 分散です。ための、場合、次いでと互いに独立しています。 $X_{i}$ $i ≠ j$ $\sigma_{ij} = 0$ $X_{i}$ $X_{j}$

残りのシグマがゼロの場合、これは私の質問に答えるかもしれませんが、 $x$ となどのこれらの変数間の関係についてはまだ混乱しています $y$ 。これはいつ起こりますか？私はそれらの間の相関を意味します。または、言い換えると、それらをゼロと仮定できますか？

別の本、すなわちFastSLAM：A Scalable Method ...マイケルとセバスチャンによる

この多変量ガウスの共分散行列の非対角要素は、状態変数のペア間の相関をエンコードします。

相関関係がいつ発生するのか、またそれが何を意味するのかについては言及していません。

kalman-filter noise

— クロコ
ソース

5

以下は、非対角要素が非ゼロである1つのトイケースです。

ロボットの単一の位置ではなく、左右の車輪の位置を含む状態ベクトルを考えます。これで、左側の車輪の位置が100mの場合、右側の車輪の位置もおよそ100mになります（車軸の長さによる）。一般に、左のホイールの位置が増加すると、右のホイールの位置も増加します。これは、正確な1：1の相関関係ではありません。たとえば、ロボットが回転しているときに正確に保持されませんが、全体的に保持されます。

したがって、ここでは、左ホイールのx位置と右ホイールのx位置の間の非対角エントリーは1に近くなります。

— ryan0270
ソース

わかりました。モデルが平面環境（ei 2D）で移動する点として表されている場合、対角要素間にそのような相関がないため、非対角要素はゼロになります。この仮定は正しいですか？また、このポイントが2つの座標（ei）を持つランドマークを検出した場合、相関ゼロを想定できますか？

x, y

$x, y$

— CroCo 14年

最初の質問に、はい、非対角要素をゼロのままにしておくことができます。第二に、それはあなたがそれをどのように扱うかに依存します。ランドマークを使用して現在の位置を推定するだけの場合、相関関係はありません。ランドマークの位置を状態ベクトルに追加すると（SLAMで一般的です）、それらの間で相関関係が生じ始めます。

— ryan0270 14年

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ここで数学の詳細に触れることなく、共分散行列の感覚をつかむには、2x2行列から始めるのが最善です。次に、共分散行列は、分散の概念を多変量の場合に拡張したものであることを忘れないでください。1Dの場合、分散は単一のランダム変数の統計です。ランダム変数の平均がゼロのガウス分布がある場合、その分散は確率密度関数を正確に定義できます。

これで、これを1つではなく2つの変数に拡張すると、2つのケースを区別できます。2つの変数が独立している場合、つまり1つの値の結果が他の値と関係がない場合、基本的に1Dの場合と同じです。あなたのとあなたのの分散与えるとあなたの確率変数の一部を、そしてゼロになります。 $\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

変数が依存している場合、これは異なります。Dependentは、と結果の間に関係があることを意味します。たとえば、が正の場合、も一般に正になる可能性が高いことがあります。これは共分散値によって与えられます。 $x$ $y$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

向きのない2Dの場合のロボットの例を与えるのは少し工夫されていますが、軸の進行方向に沿ってランダムなコンポーネントがあり、このコンポーネントが横軸（）。これは、たとえば、故障したホイールである可能性があります。これにより、回転した不確定楕円が作成されます。たとえば、後で実際の位置を測定するものがある場合、コンポーネントの不確実性分布を推定できます。 $x$ $y$ $x$ $y$

より関連する例は3Dの場合です。通常、横方向と比較して横方向に異なる不確実性があります。システムを回転させると（そのため変化します）、不確実な楕円も回転します。通常、実際の表現はバナナの形であり、ガウスは近似にすぎないことに注意してください。EKFの場合、平均を中心とした線形化です。 $\theta$

これを視覚化するための本当に良い方法の1つは、不確実性楕円の概念を使用することです。基本的に、多変量ガウス分布の境界を示し、共分散行列を視覚化するために使用できます。クイック検索でこのデモが表示され、共分散がどのように構築されるかについての洞察が得られます。本質的に、対角要素は軸の範囲を定義し、対角要素以外は楕円全体の回転に関連します。 $1 \sigma$

これは、3Dの場合にも当てはまります。ここでもっと数学的になりたいと思っていますが、しばらくしてからかもしれません。

— ヤコブ
ソース

Σ

$\Sigma$

x

$x$

y

$y$

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@CroCoあなたが求めている例は、回答の4番目の段落で説明されていると思います。

— デメトリス14年