ハミルトニアン進化のシミュレーション

私は、量子コンピューターでパウリ行列のテンソル積として書かれた用語とハミルトニアンの相互作用の下で、量子ビットの進化をシミュレートする方法を見つけようとしています。次のトリックをニールセンとチュアンの本で見つけました。この投稿 では、この形式のハミルトニアンについて説明しています。

$$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$$ 。

しかし、パウリ行列$X$または$Y$を含む項を持つハミルトニアンのシミュレーションがどのように機能するかについては、詳細には説明されていません。Hがアダマールゲートである$HZH = X$と、SがフェーズiゲートであるS † H Z H S = Yを考慮すると、これらのパウリをZに変換できることを理解しています。どのように正確に私は、たとえば実装するためにこれを使用する必要があります H = X ⊗ Y$H$$S^{\dagger}HZHS =Y$$S$$i$

$$H= X \otimes Y$$

ハミルトニアンにパウリ行列の項の合計が含まれているとしたらどうでしょうか？例えば

$$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$$

あなたがフォームのハミルトニアンあるとしましょう

$$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$$ 使用すると、その時間発展を実装することができます簡単な回路構成であります$e^{-iHt}$。基本的には、進化している状態をHの$\pm 1$固有空間にあるコンポーネントに分解することです。次に、位相e − i tを+ 1固有空間に適用し、位相e − i$H$$e^{-it}$$+1$$e^{-it}$から$-1$固有空間。次の回路はその仕事をします（そして最後に分解を計算しません）。 私は、中央の位相ゲート要素がユニタリ（e i t 0 0 e − i t）を適用していると仮定してい ます。 $$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$$

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$H=H_1+H_2$$H_1$$H_2$

$$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$$ $M$$e^{-iH_1t/M}$

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$$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$$ $U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$$Y$$Z$$X$$(X+Z)$$(X-Z)$$(Z-X)$$-(X+Z)$ $$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$$ $x_2x_3$$X+Z=\sqrt{2}H$$X\sqrt{2}HX=X-Z$$X$$X$

全体的に、シミュレーションは 複雑に見えるかもしれませんが、進行するにつれてエラーを蓄積する小さな時間ステップに分割されることはありません。あまり頻繁に適用されるわけではありませんが、このような可能性に注意する価値があります。

$H$$H=UDU^\dagger$$e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$$\sigma_i \neq I$$i$$H$

$$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

結果として：

$$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$$

$e^{it Z\otimes Z}$

ハミルトニアンがパウリ積の合計である場合、一般的な簡単な解決策はありませんが、いくつかの多数の項に切り捨てられたリー積式を使用して、上記の問題に減らすことができます。

$e^{-\Delta t H}$