ユニタリ行列の近似

私は現在、可能な限り少ない量子ゲートで良い精度に近似したい2つのユニタリ行列を持っています。

私の場合、2つの行列は次のとおりです。

NOTゲートの平方根（グローバルフェーズまで） $G = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} i & 1 \\ 1 & i \end{matrix}) = e^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

私の質問は次のとおりです：

これらの特定の行列を、可能な限り少ない量子ゲートと良好な精度でどのように近似できますか？

私がそれを持っている余裕があるようにしたいもの：

数日/週のCPU時間と大量のRAM を使用する余裕があります。
数学的トリックを検索するために1〜2日を費やす余裕があります（最後の手段として、最初にここで質問します）。この時間には、最初のポイントで使用した仮想アルゴリズムを実装するために必要な時間は含まれていません。
分解をほぼ正確にしたい。現在のところ目標の精度はありませんが、上記の2つのゲートは私の回路で広く使用されており、エラーが蓄積されすぎてほしくありません。
可能な限り少ない数の量子ゲートを使用して分解したい。この点は今のところ二番目です。
良い方法では、量子ゲートの数と近似の精度との間のトレードオフを選択できます。これが不可能な場合は、少なくとも精度（トレースノルムに関して）がおそらく必要です（前述のとおり、私には推定値がないため、このしきい値はわかりません）。 $10^{-6}$
ゲートセットは次のとおりです：とに記載されているように、ウィキペディア、斧に対する回転（のいずれかであります、または）および。 ${H, X, Y, Z, R_{ϕ}, S, T, R_{x}, R_{y}, R_{z}, CX, SWAP, iSWAP, \sqrt{SWAP}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ $R_A$ $A$ $A$ $X$ $Y$ $Z$ $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

私が知っている方法：

Solovay-Kitaevアルゴリズム。このアルゴリズムの実装があり、すでにいくつかのユニタリ行列でテストしました。アルゴリズムは非常に長いシーケンスを生成し、トレードオフ[量子ゲートの数] VS [近似の精度]は十分にパラメーター化できません。それにもかかわらず、これらのゲートでアルゴリズムを実行し、この質問を編集して、取得した結果を表示します。
1キュービットゲート近似とn キュービットゲート近似に関する2つの論文。これらのアルゴリズムもテストする必要があります。

編集：「ないの平方根」がより明確になるように質問を編集しました。

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— ネリミー
ソース

特定のゲートセットを念頭に置いていますか？キュービットにネイティブ/直接実装できない理由はありますか？

G

$G$

— Mithrandir24601

私が念頭に置いていたゲートセットを正確に編集:)

— Nelimee 2018

Wは正しいsqrt（SWAP）+ 1つのCNOT +シングルキュービットゲートで実行できるように見えます。

— Norbert Schuch、2018

詳しく説明しても構わないとしたら、これで何をしようとしているのか知りたいです。

— psitae 2018

これらの2つのゲートは、非常に単純なハミルトニアン（実数のエントリのみまたは虚数のエントリのみを含む1スパースハミルトニアン）をシミュレートするために量子回路に現れています。これについて詳しく述べる論文は、入手するのがかなり難しいです。私が見つけた唯一の方法は、ここでコピーを要求し、メールボックスで回答を待つことです:)

— Nelimee

回答:

実装する2つの特に単純な行列を選択しました。

最初の演算（G）は、Xゲートの平方根です（グローバルフェーズまで）。

ゲートセットでは、これはです。 $R_X(\pi/2)$

2番目の演算（W）は、その他の点で同一の行列の中央の2x2ブロックにあるアダマール行列です。この2x2インザミドルパターンが表示されたときはいつでも、「CNOTによって制御される操作」と考える必要があります。これがまさにここで機能します（注：行を交換する必要がある場合があります。エンディアン方式に依存します）。

したがって、唯一の実際の問題は、制御されたアダマール操作を実装する方法です。アダマールは、X + Z軸を中心とした180度の回転です。Y軸を中心に45度回転して、X + Z軸をX軸に移動し、CNOTを実行してCHを配置し、軸を後ろに移動します。

ここで、です。 $Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— クレイグ・ギドニー
ソース

2キュービットゲートのとき完全に実際のエントリを有する行列によって計算基準に（グローバル位相まで）発現させることができる、すなわち、、次いで、ゲートを実装する一般的な構造があるとシングルキュービットゲートについては、Vatan and Williamsを参照してください。 $W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

構造は、2つのCNOTゲートと最大で12のシングルキュービットゲートが必要であるという意味で最適です（実際の2キュービットゲートの最も一般的な場合）。構造は準同型に基づいています：

S O (4) \approx S U (2) \times S U (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$ 任意の2量子ビットゲートと主張：実エントリを持つのように表すことができる。と、つまり、2つの単一キュービットゲートによって実装できます。

W

$W$

W = M U M^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

行列この準同型を誘導することがマジックマトリックスMakhlinによって命名され、一つの可能な解決策をVATANウィリアムズワークにおける2ページの下部に与えられ、別の可能性によって、式（10）で与えられる藤井。VatanとWilliamsは、 CNOTを1つ使用して構造を作成しました $M$ $M$

この構造を使用して、VatanとWilliamsによって与えられた完全なゲート実装は次のとおりです。

と $S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

この構成を使用すると、1キュービットゲートおよびを計算するのは非常に簡単です。 $A$ $B$

— デビッドバーモシェ
ソース

これらのゲートはどちらも近似シーケンスを必要としません。指定したゲートセットを使用して、簡単に実装できます。

グローバルフェーズまで（無関係である必要があります）、Gは単にです。 $HSH$

2番目のはもう少し複雑です。私がこれを構築した方法は、それを制御されたアダマールと考えることでした。そこでは、制御されたnotによって作成される基本変更を必要としました。したがって、回路は $W$

ここで、です。これらの角度では常に2の因数が間違っていますが、これは形式。私はこのゲートシーケンスを最適化するために特に努力はしていませんが、これはおそらくかなり良いものです。 $U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
ソース