クリフォードグループと四元数の間の同型

クリフォードグループの要素と24個の四元数の間の明示的な同型を見つけるにはどうすればよいですか？

簡単な部分： 行列の乗算は、四元数の乗算に対応する必要があります。

単位行列$I$は、クォータニオン$1$マップする必要があります。

難しい部分： クリフォードグループの他の要素は何にマッピングされるべきか？以下の要素に対してグループ全体が生成されるため、これらをマッピングするだけで十分です。

誰か助けてもらえますか？

四元数は、単位行列と、虚数単位を掛けたパウリ行列によって、2次元で忠実に表されます$i = \sqrt{-1} X$$j = \sqrt{-1} Y$$k = \sqrt{-1} Z$$H$$P$$H = -\frac{\sqrt{-1} }{\sqrt{2}}(i+k)$$P = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}(1-k)$

ただし、ここでは四元数をグループではなく代数として使用するため、これはクリフォードグループと四元数の間の同型ではありません。クリフォードグループは、四元数代数の可逆要素のサブグループと同型であると言えるでしょう。

$\pm 1$$\pm (-iX = R_x(\pi))$$\pm (-iY = R_y(\pi))$$\pm (-iZ = R_z(\pi))$$\pi$$\frac{\pi}{2}$

明確化

@ノットログ、申し訳ありませんが私は2つの点であなたを誤解させました：

$i = \sqrt{-1} X$$j = \sqrt{-1} Y$$k = \sqrt{-1} Z$$-1$

$\sqrt{-1}$$i$$H$$P$

$H$$P$$\mathbb{Z}_8$

$24$$R_x(\frac{\pi}{2})$$R_z(\frac{\pi}{2})$