5キュビット未満のエラー修正コードがないのはなぜですか？

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最近、9-qubit、7-qubit、5-qubitのエラー訂正コードについて読みました。しかし、なぜ5量子ビット未満の量子誤り訂正コードがないのでしょうか？

error-correction

— アデックス
ソース

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少なくとも5キュービット（またはクディット）が必要であることの証明

これは、単一エラー訂正（つまり、距離3）量子エラー訂正コードが少なくとも5キュビットを持っているという証拠です。実際には、任意の寸法のquditsこの一般化、及び寸法の一つ以上qudits保護任意の量子誤り訂正符号。 $d$ $d$

（Felix Huberが指摘しているように、少なくとも5キュビットが必要であるという元の証明は、Knill-- Laflamme条件を設定したKnill-- Laflammeの記事[ arXiv：quant-ph / 9604034 ]によるものです。以下は証明手法です。最近ではより一般的に使用されています。）

修正することができ、任意の量子誤り訂正符号不明なエラーが、またまで訂正することができます（私たちは、単にいくつかの量子ビットを失うところ、またはそれは完全に脱分極、または同様の状態になる）消去エラー消去量子ビットの位置が分かっている場合。[1秒。III A] *。少し一般的には、距離量子エラー修正コードは、消去エラーを許容できます。たとえば、コードはエラーをまったく修正することはできませんが、本質的には、エラーが発生したこと（およびどのタイプのエラーであっても）を特定できるため、どの量子ビットではありません偶然にも、同じコードで単一の消去エラーから保護できます（この場合、エラーが発生した場所を正確に把握しているため）。 $t$ $2t$ $d$ $d-1$ $[\![4,2,2]\!]$

したがって、1つのパウリ誤差を許容できる量子誤差修正コードは、2つのキュービットの損失から回復できます。ここで、キュビットに量子エラー修正コードがあり、単一キュビットエラーに対して1キュビットをエンコードするとします。アリスにキュビット、ボブにキュビットを与えると仮定します。アリスは元のエンコードされた状態を回復できるはずです。もしは、ボブがなければならないように、また元の符号化状態を回復することができる-それによって、アリスの状態のクローンを得ました。これはクローンなしの定理によって除外されているため、代わりにが必要です。 $n \geqslant 2$ $n-2$ $2$ $n<5$ $2 \geqslant n-2$ $n \geqslant 5$

消去エラーの修正について

*私がこれについて見つけた最初の参照は

[1] Grassl、Beth、およびPellizzari。
量子消去チャネルのコード。
物理学 Rev. A 56（pp。33–38）、1997。
[ arXiv：quant-ph / 9610042 ]

— Knill–Laflamme条件が[ arXiv：quant-ph / 9604034 ]で説明されてからそれほど長くはないので、コード距離と消去エラーの間の接続の元々の証拠です。概要は次のとおりで、距離エラー修正コードに適用されます（また、一般化されたパウリ演算子を使用して、量子ビットの代わりに任意の次元の量子に等しく適用されます）。 $d$

量子ビットの損失は、完全に脱分極するチャネルの影響を受ける量子ビットによってモデル化でき、これは、一様にランダムなパウリ誤差の影響を受ける量子ビットによってモデル化できます。 $d-1$
これらの量子ビットの位置が不明である場合、これは致命的です。ただし、その位置がわかっているため、量子ビットのパウリエラーのペアは、Knill-Laflammeの状態にアピールすることにより、互いに区別できます。 $d-1$ $d-1$
したがって、消去されたキュービットを最大混合状態のキュービットに置き換え、それらのキュービットのパウリエラーを特定的にテストすることにより（任意のパウリエラーの修正に使用するのとは異なる修正手順が必要です）元の状態。 $d-1$

— ニール・ド・ボードラップ
ソース

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NB私の答えに賛成票を投じた場合、元の証明を特定したため、Felix Huberの答えにも賛成票を投じることを検討すべきです。

— ニール・ド・ボードラップ

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簡単に証明できるのは、小さな非縮退コードがないことです。

非縮退コードでは、量子ビットの2つの論理状態が必要であり、各論理状態をマッピングするために、発生する可能性のあるエラーごとに異なる状態が必要です。したがって、2つの論理状態と持つ5キュビットのコードがあるとしましょう。可能な単一キュービットエラーのセットはであり、すべての状態がことを意味します。は、直交状態にマッピングする必要があります。 $|0_L\rangle$ $|1_L\rangle$ $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$

| 0_{L} ⟩ 、 | 1_{L} ⟩ 、 {バツ}_{1} | 0_{L} ⟩ 、 {バツ}_{1} | 1_{L} ⟩ 、 {バツ}_{2} | 0_{L} ⟩ 、 \dots

この引数を一般的に適用すると、異なる状態が必要であることを示しています。ただし、キュービットの場合、個別の状態の最大数はです。したがって、距離3（つまり、少なくとも1つのエラーの修正）以上の非縮退エラー修正コードの場合、これはQuantum Hamming Boundと呼ばれます。これはすべてのに当てはまることを簡単に確認できますが、場合はそうではありません。実際、場合、不等式は等式であり、対応する5キュービットコードを結果として完全なコードと呼びます。

2 + 2 \times （ 3 n ）

$2+2\times(3n)$

n

$n$

2^{n}

$2^n$

2^{n} \geq 2 （ 3 n + 1 ） 。

$2^n\geq 2(3n+1).$

n \geq 5

$n\geq 5$

n < 5

$n<5$

n = 5

$n=5$

— ダフトウォリー
ソース

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Hammingバウンドを呼び出さずに、コードのクローンを作成せずにこれを証明することはできませんか？

— ノルベルトシュー

@NorbertSchuch私がクローニングに関する唯一の証拠は、nキュービットコードがn / 2以上のエラーを修正できないことを示しています。別の構造を知っているなら、私はそれを学んでとてもうれしいです！

— -DaftWullie

あ、それが@NieldeBeaudrapの答えのポイントだと思う。クール:)

— DaftWullie

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-o：標準の引数だと思った

— ノルベルトSchuch

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他の答えを補完するものとして、量子非縮退エラー訂正コードの一般的な量子ハミング限界を追加します。そのような結合しているの数学的定式化

2^{n - k} \geq \sum_{j = 0}^{t} （ \begin{matrix} n \\ j \end{matrix} ） 3^{j} 、

$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$

n

$n$ 、コードワードを形成する量子ビットの数を指す

k

$k$ 符号化される情報の量子ビットの数（それらがそうですはデコヒーレンスから保護されています）、はコードによって修正された -qubitエラーの数です。距離と関連しています

t

$t$

t

$t$

t

$t$

t = ⌊ \frac{d - 1}{2} ⌋

$t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$ 場合、このような非縮退量子コードは量子誤差補正コードになります。この境界は、次元のヒルベルト空間が測定されたシンドロームによってそれぞれ区別される空間に分割されるように、引数のような球パッキングを使用して取得され、各シンドロームに1つのエラーが割り当てられます。そして、回復操作は、そのような測定されたシンドロームに関連するエラーを反転することによって行われます。そのため、非縮退量子コードによって修正される合計エラーの数は、シンドローム測定によるパーティションの数以下にする必要があります。

[[n, k, d]]

$[[n,k,d]]$

2^{n}

$2^n$

2^{n - k}

$2^{n-k}$

ただし、縮退は量子エラー訂正コードのプロパティであり、送信されるコードワードに影響を与える可能性のあるエラー間に同等のクラスが存在するという事実を意味します。これは、同じシンドロームを共有しながら、送信されたコードワードへの影響が同じであるエラーがあることを意味します。これは、これらの縮退エラーのクラスが同じ回復操作を介して修正されることを意味するため、予想されるより多くのエラーを修正できます。パーティションよりも多くのエラーをこの方法で修正できるため、この縮退エラー修正コードに量子ハミングの境界が当てはまるかどうかは不明です。量子ハミング限界の違反に関する情報については、この質問を参照してください。

— ジョス・エチェザレタ・マルティネス
ソース

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最初のリファレンスに短いコメントを追加したかった。これは、セクション5.2

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

特定の結果は次のとおりです。

定理5.1。 A $(2^r,k)$ $e$ -error補正量子コードが満足しなければならない $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ 。

$(N,K)$ $K$ $N$ $e$ $e$ $(2^n, 2^k)$ $e$ $[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$ $k \geqslant 1$ $d \geqslant 3$ $[\![n,k,d]\!]$

\begin{aligned} n & ⩾ 4 ⌈ \frac{d - 1}{2} ⌉ + ⌈ ログ 2^{k} ⌉ \\ ⩾ ⌈ 4 \cdot \frac{d - 1}{2} ⌉ + ⌈ k ⌉ \\ = 2 d - 2 + k ⩾ 6 - 2 + 1 = 5。 \end{aligned}

$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$

（NB ここに日付の特殊性があります：上記の論文のarxiv提出は1996年4月であり、1996年10月に提出されたGrassl、Beth、およびPellizzariの論文より数ヶ月早いです。しかし、pdfのタイトルの下の日付は1年前、1995年4月）

別の証拠として、Mac-Williams Identitiesを満たす重量分布を単純に解くことでも十分であると想像できました（まだテストしていません）。そのような戦略が実際に使用されています

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

単一のエラーを訂正できる5つのキュービットの縮退コードが存在しないことを示します。

— フェリックスフーバー
ソース

素晴らしい参考文献、ありがとう！私は、Knill--Laflammeの論文を十分に知りませんでした。5の下限も同様に存在することを知っていました。

— ニール・ド・ボードラップ

編集してくれてありがとう！下限については、5つのキュービットが必要であることには対処していないようですが、そのようなコードは必ず非縮退でなければなりません。

— フェリックスフーバー

n = 5

$n=5$

d \leq n / 2 + 1

$d\leq n/2+1$

r ⩽ 4

$r \leqslant 4$

混乱させて申し訳ありません。私の副次的なコメントはQuantum MacWilliamsのIDペーパーに言及していました。単一エラー訂正5キュービットコードは純粋/非縮退でなければならないことが示されていました。一般Knill-Laflamme紙（QECCの「理論。）で、セクション5.2、彼らが指摘するように、。

— フェリックス・フーバー