ブロッホ球を2つのキュービットに一般化できますか？

ブロッホ球は、単一キュービット状態の素晴らしい視覚化です。数学的には、高次元の超球面によって任意の数のキュービットに一般化できます。しかし、そのようなことを視覚化するのは簡単ではありません。

ブロッホ球に基づく視覚化を2つのキュービットに拡張する試みは何ですか？

純粋な状態の場合、「2キュビットブロッホ球」を作成する合理的に簡単な方法があります。基本的には、シュミット分解を使用して、状態を2つのケースに分割します。絡まらない場合と完全に絡まる場合です。絡み合っていない部分には、2つのブロッホ球を使用します。そして、もつれた部分は、3D空間で可能な回転のセットと同型です（回転とは、あるキュービットの測定値を他のキュービットの予測に変換する方法です）。これにより、8つの実パラメーターで表現が得られます。

1）絡み合っていない対完全に絡み合っているの重みを示す0と1の間の実数値w。

2 + 3）量子ビット1のもつれのないユニットブロッホベクトル。

4 + 5）量子ビット2のもつれのないユニットブロッホベクトル。

6 + 7 + 8）完全に絡み合った回転。

回転部分を「XY軸とZ軸がマップされる場所」として表示し、さらに絡み合いが大きくなるように軸をwでスケーリングすると、次のようになります。

（真ん中のバウンスは、私のコードの数値縮退によるものです。）

混合状態の場合、量子ビット1のすべての測定値が与えられると、量子ビット2に対して予測されるブロッホベクトルのエンベロープを示す少しの成功がありました。これは次のようになります。

ただし、a）この「エンベロープ」表現は対称ではなく（キュービットの1つがコントロールで、もう1つがターゲットです）、b）見た目はきれいですが、代数的にコンパクトではないことに注意してください。

この表示は、Quirk の代替dev-entanglement-displayブランチで利用できます。ビルドの指示に従うことができれば、それを直接操作できます。

$j$$SU(2)$$2j+1$$j$$SU(2)$$SU(2)$$SU(2)$ 基本的な表現空間。

$2j+1$$2j$$2j$$2j$

$2j+1$

$z = \tan \theta e^{i\phi}$$\theta$$\phi$

この表現の量子計算への応用は、ホロノミック量子計​​算のゲートとして機能する幾何学的位相を生じさせる軌跡の可視化にあります。これらの軌跡は、ブロッホ球上のマヨラナ星の軌跡として反映され、これらの軌跡で囲まれた立体角から幾何学的位相を計算できます。アーベル幾何学的位相に関するLiuとFuの研究をご覧ください。一部の非アーベル症例の治療法は、リューロイとストーンによって与えられています。

最後に、量子計算に関連する多くの幾何学的表現がありますが、それらは多次元であり、一般的に視覚化ツールとしては役に立たない可能性があります。例えばご覧くださいBernatskaとHolodは、量子計算に使用される有限次元ヒルベルト空間の位相空間として機能することができcoadjoint軌道を処理します。断熱量子ハミルトニアンの基底状態多様体をパラメータ化するグラスマンニアンは、これらの空間の特定の例です。

1キュービット以上の視覚化には、ブロッホ球よりも複雑な視覚化が必要になります。Physics Stack Exchangeからの以下の回答は、この概念を非常に信頼できる方法で説明しています。

2以上のキュービットのブロッホ球

別の記事では、2キュービット表現は、S 3ファイバーとS 4基底を持つHopf繊維化を可能にする7次元球体S 7として説明されています。最も顕著な結果は、適切に配向されたS 7 Hopf線維化がもつれに敏感であることです。

絡み合い状態、ブロッホ球、およびホップ・フィブレーションのジオメトリ

とはいえ、Blochの球体ベースのアプローチは、ノイズの多い環境でキュービットの動作をモデル化する場合でも非常に便利です。一般化されたブロッホベクトルを使用して、2レベルのブロッホベクトルのダイナミクスの扱いやすい分析方程式を生成することにより、2キュービットシステムの分析が行われました。これは、よく知られた2レベルのブロッホ球からの幾何学的概念の適用に基づいています。

相関ノイズまたは反相関ノイズが存在する場合、デコヒーレンスのレートは、初期の2キュービット状態およびハミルトニアンの対称性に非常に敏感であることがわかります。ハミルトニアンに対称性がない場合、相関はデコヒーレンス率にわずかな影響しか与えません。

結合キュービットの相関ノイズへのブロッホ球アプローチ

3つの単位2球と位相因子によってパラメーター化された2キュービットの純粋状態の表現に関する別の興味深い研究記事があります。分離可能な状態の場合、3つの単位球のうちの2つは座標（ 、A）および（B、B）。3番目の球体は、交絡の尺度である同時性の度合いと位相をパラメーター化します。

この球は、ステレオグラフィック投影がキュービットAブロッホ球をこの可変虚数単位の複素平面にマッピングする「可変」複素虚数単位tと見なすことができます。このブロッホ球モデルは、分離可能な状態ともつれた状態の両方について、2キュービットの純粋な状態の一貫した記述を提供します。

この仮説に従って、3番目の球体（エンタングルメント球体）は非局所特性、エンタングルメント、および非局所相対位相をパラメーター化し、局所相対位相は2つの準ブロッホ球の方位角ofAおよびBによってパラメーター化されます。

2つのブロッホ球モデル

Q-CTRLのBlack Opalパッケージ内にいくつかのマルチキュービットビジュアライゼーションがあります。

これらはすべて完全にインタラクティブであり、相互作用する2キュービットシステムの相関関係に関する直感を構築するのに役立つように設計されています。

2つのブロッホ球は、2つのキュービットの関連する分離可能な状態を表します。中央の四面体は、2つのキュービットの特定の投影間の相関を視覚的にキャプチャします。もつれがない場合、Blochベクトルはそれぞれの球の表面上に完全に存在します。ただし、完全に絡み合った状態は、この表現の相関関係の空間にのみ存在します。これらの空間の極値は、ベル状態のように常に最大限に絡み合った状態になりますが、最大限に絡み合った状態は複数の四面体内に同時に存在することもできます。

「2キュービット純状態のブロッホ球モデル」と呼ばれる主題に関する論文が発表されました

https://arxiv.org/abs/1403.8069