クリフォードサーキットのスタビライザーテーブルの逆の簡単なルールはありますか？

で安定回路の改善されたシミュレーションアーロンソン及びGottesmanによって、クリフォード回路がそれらに作用するようにそれぞれの観察X及びZは、にマッピング取得キュビットたパウリテンソル製品記述したテーブルを計算する方法を説明します。

以下はクリフォード回路の例です。

0: -------@-----------X---
          |           |
1: ---@---|---@---@---@---
      |   |   |   |
2: ---|---|---@---|-------
      |   |       |
3: ---@---@-------Y-------

そして、それが各キュービットのXおよびZオブザーバブルにどのように作用するかを説明する表：

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   X_   __   Z_   |
| 1    | ZZ   YZ   Z_   ZZ   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   X_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   ++   ++   ++  |
+------+---------------------+-

表の各列は、回路が各キュービットのX観測可能（列の左半分）およびZ観測可能（列の右半分）にどのように作用するかを示しています。たとえば、列3の左側はZ、Z、_、Xであり、回路の右側のX3演算（量子ビット3のパウリX）は左側のZ1 * Z2 * X4演算と同等です。回路の側面。「sign」行は製品の符号を示します。これは、測定をシミュレートする場合に重要です（結果を反転するかどうかを示します）。

回路の逆のテーブルを計算することもできます。私が与えた例の場合、逆の表はこれです：

       +---------------------+-
       | 0    1    2    3    |
+------+---------------------+-
| 0    | XZ   Y_   __   Z_   |
| 1    | _Z   YZ   Z_   _Z   |
| 2    | __   Z_   XZ   __   |
| 3    | Z_   Y_   __   XZ   |
+------+---------------------+-
| sign |  ++   -+   ++   ++  |
+------+---------------------+-

行と列を入れ替えても、テーブルはほとんど同じに見えます。ただし、エントリは完全に同一ではありません。転置に加えて、文字をビット（_= 00、X= 01、Z= 10、Y= 11）にエンコードしてから、中央のビットを入れ替えてデコードする必要があります。たとえば、ZZは1010にエンコードされ、1100にスワップされてY_にデコードされます。

私が持っている質問は、逆テーブルの符号を計算するための簡単なルールもあるのですか？

現在、私はこれらのテーブルを回路に分解して反転し、回路を反転してから乗算して戻します。これは、transpose + replaceに比べて非常に非効率的ですが、transpose + replaceを使用する場合は、署名ルールが必要です。

pauli-gates clifford-group

— クレイグ・ギドニー
ソース

質問を明確にするには：クリフォード回路をます。次に、番目の列を読み取ると、使用される左半分または右半分に応じて、およびられます。そして、あなたがしたいとこのデータからではなく。

U

$U$

j

$j$

U X_{j} U^{†}

$U X_j U^\dagger$

U Z_{j} U^{†}

$U Z_j U^\dagger$

U^{†} X_{j} U

$U^\dagger X_j U$

U^{†} Z_{j} U

$U^\dagger Z_j U$

— AHusain

@AHusain正解。

— Craig Gidney、2018

質問を明確にするために：あなたのクリフォード回路で@はどういう意味ですか？

— Josu Etxezarreta Martinez 2018

@JosuEtxezarretaMartinezこれらはコントロールです。2つを接続すると、CZゲートになります。Xに接続された@は制御されたXです。Yに接続された@は制御されたYです。

— Craig Gidney

回答:

Aaronson（およびGottesman）のタブロー表現の非常に密接に関連した表現があり、これはキュービットだけでなく、任意の有限次元のクジットにも機能します。これは、純粋なクリフォード回路（つまり 、最大で1つの端末測定）に特に適しています。

この別の表現では、通常の表現と同様に、位相情報を使用して、シングルキュービットXおよびZ演算子がどのように変換されるかを説明するタブローがあります。列は、マルチキュービットワイル演算子を具体的に説明しています。これは、パウリ演算子の特別なサブセットです。そうすることの利点は、タブローが単なる係数の配列ではなく、ワイル演算子と位相を表すベクトルの実際の線形演算子であることです。

小さなキャッチがあります。キュービットの場合、これらのベクトルには2を法とするのではなく、4を法とする整数（Weyl演算子による非自明な単一キュービットパウリ演算子の二重カバーに対応）の係数があります。それは私自身の結果である[ arXiv：1102.3354 ] ので、少し偏っているかもしれません。ただし、それはやや「自然に発生する」表現のようです。Applebyは、シングルキュービットまたはquditの特殊なケースを少し前に開発しました[ arXiv：quant-ph / 0412001 ]（2年間使う前に知っておきたかったものです）本質的に同じ規則を不必要に再作成します）。

そのような表現を使用すると、クリフォード回路の「タブロー」がベクトルを変換する実際の行列（および反転可能な行列）になるという事実により、逆回路のタブローは次のようになります。タブローの逆。したがって、少なくともこの密接に関連した表現では、逆回路のタブローを計算するルールは簡単です。 $M_C$ $C$ $C^{\dagger}$ $M_C^{-1}$

— ニール・ド・ボードラ
ソース

ワイル演算子を説明するスライドまたは講義ノートにリンクしていただけませんか？

— Craig

これは、積ベクトルを追跡するときに、「Pauli基底」{I、X、Y、Z}を「四元数基底」{I、iX、iY、iZ}で置き換えることに何らかの関係がありますか？

— Craig Gidney、2018

量子ビットの話をするときおそらく、オリジナルの論文はこれです1

— DaftWullie

私はワイル演算子に関するいくつかの良いスライドを見つけようとします（私自身はそれらについて実質的なものは何もありません）。nキュービットの場合、これらは演算子 2つのベクトル。この定義の動機はpに要約されています。これは、補題4につながる私のリンクされた記事の2です。これにより、加算mod 4（およびクリフォード回路を実行するときの線形代数mod 4）だけを使用して、位相の2次スタッフMOD 2を包含するスタビライザーグループについて考えることができます。

W_{a, b} = i^{- (a \codt b)} Z_{a} X_{b}

$W_{\mathbf a,\mathbf b}=i^{-(\mathbf a\codt\mathbf b)}Z_{\mathbf a}X_{\mathbf b}$

a, b \in Z_{4}^{n}

$\mathbf a,\mathbf b\in\mathbb Z^n_4$

— Niel de Beaudrap

@DaftWullie：いいえ、[arXiv：quant-ph / 9608006 ]は厳密に異なります。それらはGF（4）の加法群構造に反映されるmod 2ベクトル（Eq.2の前のテキストを参照）によってXとZのべき乗にインデックスを付けます。したがって、p.8のシンプレクティック変換に関する彼らの観察は、Pauliグループのモジュロ位相に適用されます。Applebyと私は、キュービットでパウリグループの派手な表現をした最初の人物であるとは主張していません。ポイントは、私たちの表現がより優雅にフェーズを追跡することです。これはQECCの発見にはそれほど重要ではありませんが、状態のシミュレーションには重要です。

— Niel de Beaudrap

アーロンソンとゴッテスマンの手法をもう少し明確に引き出すには、各スタビライザーを長さ（キュービットの場合）のビット文字列として設定できます。最初ビットは、Z演算子の位置を指定し、第二組のの位置指定（SO、オペレータをための 0110です）。4量子ビットの回路の場合、クリフォード回路による変換（あるフェーズまで）は、行列によって与えられます。これは、ブロックマトリックスと考えることができ、各ブロックは $2N$ $N$ $N$ $N$ $X$ $X_1Z_2$ $N=2$ $8\times 8$

M = (\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}),

$M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right),$

N \times N

$N\times N$ 。スタビライザーが通勤するという事実により、モジュロ2の逆を求めます。主張された逆の形式は、（次のように）これは、興味深いことに、行列の逆行列を連想させます（ただし、ブロック行列には十分ではありません）。ブロックごとの逆がありますが、ここではそれほど役に立ちません。

(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & I \\ I & 0 \end{array}) \cdot {(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array})}^{T} \equiv 0 mod 2

$\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & \mathbb{I} \\ \mathbb{I} & 0 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)^T\equiv 0\text{ mod }2$

M

$M$

(\begin{array}{cc} D^{T} & B^{T} \\ C^{T} & A^{T} \end{array})

$\left(\begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & A^T \end{array}\right)$

2 \times 2

$2\times 2$

もちろん、混乱はフェーズを追跡することから生じます。各スタビライザーのYオペレーターの数の変化に関連していると思いますが、統一された治療には成功していません。ニールの答えはおそらくそれを自動的に処理するより良い仕事をするでしょう。

— DaftWullie
ソース