平面グリッド上の4キュービット増分のCNOTの最小数

最近、私はNISQの高いマシンがどのように「カウント」できるか疑問に思っています。つまり、作成できる最も最適化されたインクリメント回路を考えると、出力が誤った値である確率が50％を超える前に、その回路を秘密の初期状態のキュビットに物理的に何回適用できますか。

そのためには、実際にNISQマシンで実行できる優れたインクリメント回路が必要です。たとえば、これは局所性の制約を尊重し、実行される2キュービット操作の数に基づいて回路にコストをかけることを意味します（これらが最もノイズが多いため）。簡単にするために、ゲートセットは「任意の単一キュービット操作+グリッド上のローカルCNOT」であると言います。

NISQマシンは3キュービットのインクリメンターを少なくとも8回適用できるはずです（そのため、0に戻り、カウントが失われます）が、4キュービットカウンターをラップすることははるかに難しいと思います。したがって、この質問は特にそのサイズに焦点を当てています。

4キュービットインクリメンターは、状態の置換影響を与える回路$|k\rangle \rightarrow |k + 1\pmod{16}\rangle$です。値$k$は、4キュビットの2の補数の2進整数として格納する必要があります。値が重ね合わせのもとにある場合でも、インクリメンターを適用した後は、一貫性が保たれている必要があります（つまり、一時的なワークスペースとして以外、他のキュービットと絡まないでください）。キュービットはグリッド上のどこにでも配置できます。

これが私が見つけた最高の回路です。14個のCNOTを使用します。

この回路は線形レイアウトを使用していないことに注意してください！次のようにグリッドに配置されます。

0-A-1
  |
  3
  |
  2

ここで、「A」は| 0>状態で初期化された補助文字であり、「0」、「1」、「2」、「3」はレジスタを構成するキュビットです（「0」が最下位ビットです）。

私はこの回路をQuirkでチャネル状態の双対性と既知の良好な反転を使用して検証しました。

sqrt-of-CNOT操作にアクセスできた場合、下部領域の2つのCNOTと3つのTを制御されたSにマージすることにより、2キュービット操作の数を13に減らすことができます。

CNOTのエラー率が0.5％で、他のすべてのエラーの原因が無視できる場合、50％の失敗率に達する前にこの回路をほぼ10回適用できます。もっともらしいNISQマシンを暗示することは「ほぼ10に数える」かもしれません。