量子コンピューターはルービックキューブグループの混合時間を簡単に決定できますか？

ルービックキューブトーナメントの役員は、キューブをスクランブルする2つの異なる方法を使用しています。現在、彼らは離れてキューブを破壊し、ランダムな順序でcubiesを再構築$\pi\in G$ルービックキューブグループの$G$。以前は、Singmasterの移動のランダムシーケンスを適用します。⟨ U 、D 、F 、B 、L 、R $g$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

しかし、長さワードの -するために必要なランダムな動きの数は、完全キューブをスクランブル各よう順列が略等しくおそらく発生することである-現在不明であるが、である必要があります少なくとも20。この長さtは、Singmasterの移動\ langle U、D、F、B、L、R \ rangleによって生成されたルービックキューブグループのCayleyグラフ上のランダムウォークの混合時間と呼ぶことができます。$t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

量子コンピューターには、ルービックキューブグループの混合時間tを決定する利点があり$t$ますか？

レジスタを、ようなすべての構成に対する均一な重ね合わせとして作成するためのアダマールの動きの巧妙なシーケンスを使用できると思います。これまでSingmaster移動し、任意の順序適用変更されません。 ‖ G ‖ | A ⟩ | A $\vert A \rangle$$\Vert G\Vert$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$

混合時間が何であるか推測がある場合、長さのすべてのSingmaster単語の均一な重ね合わせとして別のレジスタを作成し、そのような各単語を解決済み状態に条件付きで適用することもできます、うまくいけば、状態を取得するためにように、我々は測定する場合は、それぞれの構成は同じ確率を測定することになっています。場合、のCayleyグラフに沿って十分な時間歩いていないことになり、を測定する場合$t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$、解決された状態に「近い」構成がより可能性が高くなります。いくつかの巧妙なフーリエ変換のように変換分散方法を均一に測定することができるかもしれませんされます。$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

私にとって、これは量子コンピューターが得意な何かのように感じます。たとえば、がすべての単語によって一様に混合されていない場合、一部の構成は他の構成よりも可能性が高くなります。たとえば、はより「一定」です。一方、がすべてのウォークで完全に混合されている場合、はよりバランスが取れています。しかし、量子アルゴリズムとマルコフ連鎖の両方についての私の直感は、非常に遠くまで届くほど強力ではありません。$\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

編集

この質問と量子ノット検証の問題を比較してください。

量子ノット検証では、特定の不変量を持つすべてのノットの状態として商人に量子コインが与えられます。量子コインを検証するために、彼女はマルコフ連鎖を適用して、トランジションを自分自身に適用します（有効なコインの場合）。このマルコフ連鎖を適用し、結果を少なくとも回測定する必要があります。自分でを構築する方法はありません（少なくともコインを偽造できる可能性があります）。したがって、有効なコインを与えられた場合、彼女は自分で生成できない状態を与えられ、マルコフチェーンとして行列、そして彼女はおそらく混合時間知っている$\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; 彼女はが有効であることをテストする必要があります。$\vert K \rangle$

現在の質問では、すべてのルービックキューブ順列のを生成することはおそらく非常に簡単です。マルコフ連鎖に対応する量子回路は、と呼ばれ、Singmasterの動きで、おそらく非常に簡単に構築できます。ただし、ミキシング時間は不明であり、決定する必要があるものです。$\vert RC \rangle$$S$$t$

これは、ほとんどの「xに量子アルゴリズムはありますか」よりも優れた興味深い質問です。質問。既存の量子アルゴリズムを知りません。典型的な最初の試みだと思うことと、それが失敗する理由を説明しましょう。最後に、いくつかの改善につながる可能性のあるいくつかのことを説明します。

アルゴリズムの最初の試み

特定の混合時間をテストしたいとしましょう。R Cには、ルービックキューブの可能な構成のいずれかを保持するのに十分なワークスペースを含む1つのレジスターを作成します。この初期状態は、キューブの開始状態に対応する製品状態です。$t$$RC$

それから、1の補助レジスタ、A 1からA tを作成します。これらはそれぞれ、可能なSingmasterの移動数と同じサイズであり、すべての可能な基本要素にわたって均一な重ね合わせとして準備されます。次に、各i = 1 、… tに対して、A iからR Cに被制御ユニタリを適用します。ここで、レジスタA iは、どのCingmaster移動がR Cに適用されるかを指定します。$t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

我々だけを見れば、すべてこの後、、必要に応じて混合が起こった場合、それが最大限に混合した状態でなければなりません。問題は、この出力が最大混合状態であるかどうかをテストする方法です。このような便利なテクニックがありますが、どのような精度が必要ですか（つまり、何回繰り返しますか？）。必要なもの| A | tは確かに、私は思います。$RC$$|A|^t$

実際、この方法は古典的な方法と同じくらい悪いです。各初期状態をI / 2 |に置き換えることができます。A i | そして、それは結果を変えません。しかし、これは実際には毎回ランダムに選択して何度も実行し、正しい出力分布を確認するようなものです。$A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

可能な改善

• 説明したとおりに実行すると、出力密度行列（R C上の）は対角でなければなりません。つまり、均一な重ね合わせ| U ⟩すべての基底状態の上には、以下の場合に固有状態であり、システムを最大限に混合される場合にのみ。この観察結果を何らかの振幅増幅と組み合わせて、軽度の高速化を実現できればと思います。なお、ρ K | uが⟩から非常に急速に違いを構築します| U ⟩状態は固有ベクトルでない場合。$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• それとは別に、おそらく補助レジスタでもっと賢くする必要があります。ルービックキューブには非常に多くのグループ構造が組み込まれているため、これが可能になる可能性があります。試してみたいことの1つは、すべての補助レジスタを単一のレジスタに置き換えて、制御されたユニタリの各ラウンドの間にレジスタのすべてのキュービットにHadmardゲートを適用できるかどうかを確認することです。これは、最初の提案と比較して、キュービット数の面で効率を節約することだけです。それさえしないかもしれません。$t$

どちらかが直接機能するかどうかはわかりません。それでも、重要な原則は、いくつかの有用なグループ構造を見つけ、振幅増幅を適用できる方法を見つけることだと思います。

ユニタリデザインについて読むと便利かもしれません。これは確かにここで話していることとは明らかに異なる問題ですが、技術的なツールのいくつかは役に立つかもしれません。大まかに言えば、アイデアはunitariesのセットがことであるであるT -designこれらunitariesのランダムなアプリケーションは、一つの出力機能に（ハール測度から引き出さ）真にランダムユニタリをシミュレートすることができた場合、Fれ、テーラーを用いて拡張するときシリーズは、次数tまで正確です。ここでのおおよその関係は、tのシーケンスを表すユニタリを取る場合、Singmasterは{ U }として移動し$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$このセットは2 -デザイン（あなたが取得する場合された場合、それは十分である正しい、あなたが行われています）。$\text{Tr}(\rho^2)$

（CWが自己回答の担当者を避ける）

@DaftWullieの回答と@Steven Sagonaのコメントをフォローアップして、2つのパーティがtの値を絞り込むインタラクティブな方法があるかもしれません。私の形式主義は貧弱ですが、私はアイデアが通過することを望みます...$t$

たとえば、AliceとBobの2つのパーティを呼び出します。当事者は、プロトコルに従って協力し、誠実に行動する必要があります。

アリスは 2つの状態を準備する方法を知っていますと| 1 ⟩。ここで、| 0 ⟩すべてのルービックキューブの組み合わせにわたって均一重ね合わせである、と| 図1は、 ⟩量子ビットの同じ数（例えば、対応する状態が解消ようルービックキューブ、またはいくつかの大きなサブグループにわたって均一な重ね合わせといくつかの他のサル状態であるG）。 ボブは、行列Mを量子状態に適用する方法を知っています。ここで、$\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$ Singmasterのすべての移動の単一ステップに対応します（必要に応じてアンシラを使用）。

アリスとボブは、Singmasterが移動するときのルービックキューブグループの混合時間が最大rであることを示したいと考えています。アリスとボブは次のs回繰り返します。$t$$r$$s$

1. アリスはコインフリップ、および提供| 私 ⟩ボブへ$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bobは繰り返してMを|に適用します A I ⟩、および対策プロジェクターたびに。$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. プロジェクターがr回の繰り返しのそれぞれに対してである場合、ボブはi = 0と言います。プロジェクターがない場合には1の少なくとも一方のためのR回の反復、その後、ボブはアリスだと言っている私は= 1。$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

場合、ステップ2 でのBobのr回の繰り返しは変更されません。0 ⟩ -定義によるので| 0は ⟩ボブの行列の固有状態である、とボブの行列はただ自分たちの中の状態を並べ替えます。i = 1の場合、サルの状態| 1は ⟩ありませんボブのプロジェクターの固有状態、及びというチャンス1が測定されることはありませんがで迅速に成長し、R。 $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

したがって、ボブがs回の反復でを正確に予測した場合、成功の確率はsとともに指数関数的に増加し、ボブのrは有効なルービックキューブ状態をサル状態と区別するのに十分な大きさです。$i$$s$$s$$r$

どれだけ離れているかわからないからである必要があります| 0 ⟩。インタラクションを削除できるかどうかもわかりません。$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

最初に、いくつかのレジスタと演算子について考えてみましょう。

1. 登録$\vert A\rangle$キューブの状態の重ね合わせをコードする、（例えば、A順列キューブの$G$）。
2. |に作用する演算子$U$⟩すべて0のケットをマッピングするために| 00 ⋯ 0 ⟩全てにわたって均一重畳へ‖ G ‖状態。$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$
3. 登録$\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$、Singmasterのセットの重ね合わせをコードする、所与の位置に適用される移動（例えば、長さのSingmaster移動の言葉の重ね合わせ$k$）。
4. |に作用する演算子$V$および$V^{-1}$B ⟩すべて-0のケットをマップします| 00 ⋯ 0 ⟩全ての均一な重ね合わせに18 k個の長さのSingmaster移動の語K（およびその逆）。そして$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$18^k$$k$
5. Singmaster move bを特定のキューブ位置に適用する（制御された）オペレーター$W$$b$

もし$\vert A\rangle$、すべての要素にわたって均一重ね合わせである$G$、その後$\vert A\rangle$の固有状態である$W$、との繰り返しのアプリケーション$W$影響を与えるために戻って蹴られることはありません$\vert B\rangle$。

つまり、$V^{-1}$は$\vert B\rangle$を返すはずです。B ⟩オールゼロのケットに上記の回路で$\vert 00\cdots 0\rangle$。

しかし、@DaftWullieで述べたように、もし$\vert u\rangle$ではないとの違い、その後、固有状態で$\vert u \rangle$と$\rho^k \vert u\rangle$構築非常に急速に -私はこの違いが蓄積する速度が左右されると信じて正確に関心のオペレータの混合性に。

したがって、状態を準備できる場合$\vert A\rangle$れる摂動一様分布から、そのようなこと$\vert A\rangle$固有状態ではない、その後、繰り返しのアプリケーション$W$ う急速に違いを構築し、$V^{-1}\vert B\rangle$すべてゼロのケットではないかもしれません。

$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$$1$$\delta$