任意のユニタリを近似するために必要なゲートの数

私が正しく理解していれば、量子ゲートの指数関数数以下では距離近似できない単一演算が存在しているはずです。 $\epsilon$

ただし、Solovay-Kitaevの定理により、固定したキュビットでの任意のユニタリー演算は、poly（log（1 /））ユニバーサルゲートを使用して距離に近似できます。 $n$ $n$ $\epsilon$ $\epsilon$

これら2つのステートメントは矛盾しているように見えませんか？何が欠けていますか？

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

あなたの声明では、ゲート数は何に関して指数関数的ですか？精度は？

— Nelimee

キュービットの数だと思います。もうわかったと思います。精度を固定しておくと、量子ビットの数に関して、シミュレートするために指数関数的な数のゲートを必要とするユニタリーが存在する可能性があります。対照的に、Solovay Kitaevの定理により、キュビットの数を固定したまま、シミュレーションのユニバーサル量子ゲートの数は、精度に関して多項的にスケーリングされます。それは何ですか？

— BlackHat18

はい、正確に-2つの異なるパラメーターに関してスケーリングを比較しています：有限のユニバーサルセットのゲート数の関数としての単一のキュービットゲートの達成可能な精度、およびユニタリの特定の精度を達成するために必要なゲート数ユニタリーが作用するキュビットの数の関数として。

— DaftWullie

質問が行われなくなった場合、@ BlackHat18はその理由を回答として説明できます。これに関するポリシーは何ですか？

— AHusain

@AHusain BlackHat18の自己回答は許可され、推奨されます

— glS 2018

回答:

完全なスケーリングはになるため、実際に量子ビット数で指数関数的なスケーリングが行われます。 $O(4^n\text{poly}\left(\log\frac{1}{\epsilon}\right))$

— 意志
ソース

QUにunitariesがためSolovay-Kitaevの定理が成立することに留意されたい（セクション5をDN05、我々は設定することができる）ため -qubit一体。同じ分析に従って、 $d$ $d=2^n$ $n$

ゲートシーケンスの長さ、 $l_{\epsilon} = O(\ln^{\ln 5/\ln(3/2)} (1/\epsilon))$
時間の複雑さ。 $t_{\epsilon} = O(\ln^{\ln 3/\ln(3/2)}(1/\epsilon))$

ここで問題は、精度パラメーターです。以来、ある -dimensionマニホールドは、そうですべてのゲート近似する内、我々は発生配列。 $\epsilon$ $SU(d)$ $(d^2-1)$ $SU(d)$ $\epsilon_0$ $O(1/\epsilon_0^{d^2-1})$

したがって、特定のユニバーサルゲートセットの場合、ゲートシーケンスの長さキュビットを設定すると、ます。したがって、キュビットでユニタリを近似するには、実際に指数関数的に多くのゲートが必要です。 $\mathcal{G}$

l_{0} \geq O (\frac{d^{2} - 1}{\log | G |} \log (1 / ϵ_{0})) .

$l_0 \geq O\left(\frac{d^2-1}{\log |\mathcal{G}|} \log(1/\epsilon_0)\right).$

d = 2^{n}

$d=2^n$

n

$n$

l_{0} \sim 4^{n} p o l y \log (1 / ϵ)

$l_0 \sim 4^n \mathrm{poly}\log(1/\epsilon)$

n

$n$

— ゆうぱん
ソース