-qubitsのPauliグループは基礎ですか？

キュービットのパウリグループはとして定義され。つまり、パウリ行列間のすべての可能なテンソル積を含むグループです。パウリ行列が複素行列ベクトル空間の基礎、つまり形成していることは明らかです。それとは別に、テンソル積の定義から、キュービットパウリグループがテンソル積空間の基礎を形成することが知られています。$n$$G_n=\{I,X,Y,Z \}^{\otimes n}$$n$$2\times 2$$\mathbb{C}^{2\times 2}$$n$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}$

-qubitsのPauliグループが、このテンソル積空間の要素が作用する複素ベクトル空間の基礎、つまり形成するかどうか疑問に思っています。要約すると、質問は正しいですか？C 2 N × 2 N（C 2 × 2）⊗ N = C 2 N × 2 $n$$\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$$(\mathbb{C}^{2\times 2})^{\otimes n}=\mathbb{C}^{2^n\times 2^n}$

私は両方のスペースの寸法に関する引数を使用してそれを証明しようとしましたが、まだ何も得ることができません。

はい、可能なすべての Pauli演算子（Iを含む）のテンソル積のセットは、2 n × 2 nの複素行列のベクトル空間の直交基底を形成します。これを最初に見ると、空間の次元が4 nで あり、4 nベクトルもあります（この場合、ベクトルは演算子です）。したがって、これらが線形独立であることを示すだけで十分です。$n$$I$$2^n \times 2^n$$4^n$$4^n$

より強いものを実際に示すことができます。パウリグループのメンバーは、ヒルベルトシュミットの内積の下で直交していることが容易にわかります。2つの行列のHS内積は、として定義されます。パウリグループがこの内積の下で相互に直交するセットであることを定義から簡単に確認できます。我々は、単に基本プロパティを使用する必要はT R （C ⊗ D ）= T R （C ）T R （D ）。 $Tr(AB^\dagger)$$Tr(C \otimes D) = Tr(C)Tr(D)$