量子の高速化が量子力学の波のような性質によるものである場合、なぜ通常の波を使用しないのですか？

量子コンピューティングが従来のコンピューティングよりも優れている理由について私が持っている直感は、波動関数の波のような性質により、単一の操作で情報の複数の状態に干渉することができ、理論的には指数関数的な高速化が可能になるということです。

しかし、本当に複雑な状態の建設的な干渉である場合、古典的な波でこの干渉を実行しないのはなぜですか？

そしてその点で、性能指数が単純に計算できるステップ数である場合、目的の計算が組み込まれた複雑な動的システムから始めてみませんか。（つまり、特定の問題に対して「アナログシミュレータ」を作成しないのはなぜですか？）

波の数学は量子力学の数学を模倣するというあなたの主な主張は正しいものです。実際、QMの先駆者の多くは、この正確な理由から、これを波力学と呼んでいました。それから、「なぜ波を使って量子計算ができないのか？」と尋ねるのは自然です。

簡単な答えは、量子力学により、多項式リソースのみを使用しながら、指数関数的に大きなヒルベルト空間を扱うことができるということです。つまり、キュービットの状態空間は次元のヒルベルト空間です。2 $n$$2^n$

多項式的に多くの古典的なリソースから指数関数的に大きなヒルベルト空間を構築することはできません。これがなぜそうなのかを見るために、2種類の異なる波力学ベースのコンピューターを見てみましょう。

そのようなコンピューターを構築する最初の方法は、個の2レベルの古典的なシステムを取ることです。その場合、各システムはそれ自体で2Dヒルベルト空間で表すことができます。たとえば、最初の2つのハーモニクスのみが励起されたギター弦を想像できます。$n$$n$

エンタングルメントがないため、このセットアップは量子コンピューティングを模倣できません。したがって、システムのどの状態も製品状態になり、 ギター弦の結合システムを使用して次元のヒルベルト空間を作成することはできません。2 $n$$2^n$

指数関数的に大きなヒルベルト空間を構築しようとする2番目の方法は、1本のギターの刺し傷を使用し、ヒルベルト空間の基底ベクトルで最初の高調波を識別することです。これは@DaftWullieの回答で行われます。このアプローチの問題は、これを実現するために励起する必要がある最高高調波の周波数がとしてスケーリングされることです。そして、振動する弦のエネルギーはその周波数で二次関数的にスケーリングするため、弦を励起するには指数関数的な量のエネルギーが必要になります。そのため、最悪の場合、計算のエネルギーコストは問題のサイズに応じて指数関数的に増加します。 O （2 n$2^n$$O(2^n)$

そのため、ここで重要な点は、古典的なシステムでは物理的に分離可能なパーツ間のエンタングルメントがないことです。そして、エンタングルメントがなければ、多項式のオーバーヘッドで指数関数的に大きなヒルベルト空間を構築することはできません。

私自身は、量子力学の力の源は「破壊的干渉」、つまり量子力学の波のような性質によるものだとよく言います。計算の複雑さの観点から、これが量子計算の最も重要で興味深い機能の1つであることは明らかです（たとえば、Scott Aronsonが述べています）。しかし、「量子計算の力は破壊的干渉/量子力学の波のような性質にある」という非常に簡単な方法で説明するとき、この種の記述は速記であることに注意することが重要です。必ずしも不完全です。

何かの「力」または「利点」について発言するときはいつでも、心に留めておくことが重要です。何と比較して？この場合、私たちが比較しているのは、特に確率的コンピューティングです：そして、私たちが念頭に置いているのは、「何か」が波のように振る舞うだけでなく、特に確率のようなものが波のように振る舞うということです。

古典世界では、確率自体はすでに波のように少し行動していると言わなければなりません：具体的には、一種のホイヘンの原理に従います（個々の初期からの貢献を合計することで、物事の確率の伝播を理解できること）条件—言い換えれば、重ね合わせの原理による）。もちろん、違いは、確率が負ではないため、蓄積することしかできず、その進化は本質的に拡散の形になることです。量子計算は、確率に似た振幅を持つ波のような振る舞いを示しますが、これは正ではない場合があります。したがって、これらの振幅の破壊的な干渉を見ることが可能です。

特に、波として作用しているものは確率のようなものであるため、システムが進化する「周波数空間」は、計算に関与する粒子の数で指数関数的になる可能性があります。この一般的な現象は、従来の計算よりも有利になりたい場合に必要です：周波数空間がシステムの数で多項式的にスケーリングされ、進化自体が波動方程式に従う場合、古典的なコンピューターでのシミュレーションの障害はより簡単になります克服します。他の種類の波と同様の計算上の利点を達成する方法を検討したい場合、境界のあるエネルギー空間に指数関数的な量の「周波数」または「モード」をどのように絞るつもりかを自問する必要があります。

最後に、実用上の注意として、フォールトトレランスの問題があります。確率のような現象によって示される波のような振る舞いのもう1つの副作用は、パリティ、またはより一般的には周辺分布の粗トレーニングをテストすることでエラー修正を実行できることです。この機能がなければ、量子計算は本質的にアナログ計算の形式に制限され、これはいくつかの目的には役立ちますが、ノイズに対する感度の問題に制限されます。構築されたコンピューターシステムでは、フォールトトレラントな量子計算はまだ行われていませんが、原理的には可能であり、それを目指しています。一方、例えば水波で同様のことがどのように達成できるかは不明です。

他の答えのいくつかは、 量子力学のこの同じ機能に触れています：「波動粒子の二重性」は、波のように作用している個々の粒子の挙動について確率的なものがあるという事実を表現する方法であり、スケーラビリティに関するコメント/これから指数関数的に構成空間が続きます。しかし、これらのわずかに高いレベルの説明の根底にあるのは、量子振幅を持ち、多変量確率分布の要素のように振る舞い、時間とともに線形に進化し、累積するが負でも正でもあり得るという事実です。

量子波力学を古典と異なるものにしているのは、波が非常に多くの次元を持つ構成空間にわたって定義されていることです。（計算量子の理論的な議論のための良い十分である）非相対論学部量子力学では、システム次元空間内スピンレス点粒子の波動によって記載されているR 3 Nのために、N = 2は既に古典的にはアナログを持っていません力学。すべての量子アルゴリズムはこれを活用します。量子アルゴリズムを使用せずに、特定の計算（アナログコンピューティング）を改善するために古典的な波力学を活用することが可能かもしれません。$n$$\mathbb{R}^{3n}$$n=2$

2つのだけの状態（であることができる量子計算用途キュビットの通常モデル）、状態のない連続体（R 3）。それに最も近い古典的なアナログは、連続波ではなく、結合された振り子です。しかし、古典的量子ケースとの間の指数差が依然としてあります：N振り子の古典的なシステムによって記述され、N位置と運動量（またはN量子システムがによって記述されている間、複素数）2 N個の複素数（又は2 N抽象"位置」と「運動量」がありますが、量子物理学者はそのように話しません。$\{0,1\}$$\mathbb{R}^3$$n$$n$$2^n$$2^n$

私は完全な答えを持っていると主張していません（まだ！これを更新したいと思います。これはうまく説明し、説明するのが面白い問題だからです）。しかし、いくつかの明確なコメントから始めましょう...

しかし、本当に複雑な状態の建設的な干渉である場合、古典的な波でこの干渉を実行しないのはなぜですか？

glibの答えは、単なる干渉ではないということです。量子力学では、古典物理学とは異なる確率の公理（確率振幅）が使用され、これらは波のシナリオでは再現されないということだと思います。

$L$

$^*$$\{A_n\}$

$^*$

$\{A_n\}$

これは、違いを確認する1つの方法かもしれません（または、少なくとも正しい方向に向かっています）。量子計算クラス化された測定ベースの量子計算を実行する方法があります。特定の状態でシステムを準備し（これは既に合意済みであり、wビットで処理できます）、さまざまなキュービットを測定します。測定基準の選択により、計算が決まります。しかし、ここでそれを行うことはできません。なぜなら、そのような基底の選択がないからです。

そしてその点で、性能指数が単純に計算できるステップ数である場合、目的の計算が組み込まれた複雑な動的システムから始めてみませんか。（つまり、特定の問題に対して「アナログシミュレータ」を作成しないのはなぜですか？）

$H$$t_0$$e^{iHt_0}$$2H$$t_0$$t_0/2$$H$

$H$$e^{-iHt_0}$

規則的な波は干渉できますが、もつれられません。
古典的な波では起こり得ない絡み合った量子ビットの例は、この質問に対する私の答えの最初の文で与えられています：量子ビットのセットと細分化されたプレートを持つコンデンサの違いは何ですか？

絡み合いは、確率論的な古典的なコンピューター（つまり、古典的なコンピューターとコインフリッパー）によって重ね合わせだけをシミュレートできるため、量子コンピューターに古典的なコンピューターよりも有利な重要なものと考えられています。

「なぜこの古典的な波との干渉を実行しないのですか？」

はい、これは通常のデジタルコンピューターで量子コンピューターをシミュレートする1​​つの方法です。浮動小数点演算を使用して「波」をシミュレートします。問題は、スケールしないことです。すべてのキュービットは次元数を2倍にします。30量子ビットの場合、「波」または状態ベクトルを保存するためだけに、すでに約8ギガバイトのRAMが必要です。約40量子ビットでは、これを行うのに十分な大きさのコンピューターが不足しています。

同様の質問がここで尋ねられました：量子ビットのセットと細分化されたプレートを持つコンデンサの違いは何ですか？