一連のゲートの普遍性を証明/反証する方法は？

十分な数のゲートがあれば、ユニバーサルゲートセットは他のタイプのゲートの動作を模倣できます。たとえば、量子ゲートの普遍的なセットは、アダマール（  $H$  ）、$\pi/8$位相シフト（  $T$  ）、および$\mathrm{CNOT}$ゲートです。どのように反証又はのようなゲートの組の普遍性を証明するであろう$\{H,T\}$、$\{\mathrm{CNOT},T\}$、又は$\{\mathrm{CNOT}, H\}$？

普遍性は非常に微妙なものであり、証明するのは非常に難しい。通常、それを証明するための2つのオプションがあります。

• 選択したゲートを使用して、任意のサイズの任意のユニタリを構築する方法を直接示します（構築のサイズに制約はありませんが、それを行うことができます）スペース）。

• 選択したゲートセットを使用して、既存のユニバーサルセットを（任意の精度で）再作成する方法を示します。

逆に、反証したい場合は、ゲートのセットの効果が、通常は古典的な計算である（想定される）より少ない計算モデルによって常にシミュレートできることを示します。

ガイダンスに使用できるヒューリスティックがいくつかあります。

• セットにマルチキュービットゲートが必要です。単一キュービットゲートしかない場合は、従来のコンピューターで各キュービットを個別にシミュレートできます。したがって、量子コンピューターが古典よりも強力であると考える場合、単一量子ビットゲートだけでは量子計算に普遍的ではありません。これは{H、T}を除外します。

• 重ね合わせを作成するゲートが必要です。これは{CNOT、T}を除外します。繰り返しますが、これは無関係なグローバルフェーズを追加した古典的な計算です。

もちろん、これらは十分な条件ではありません。集合{H、S、CNOT}も同様に効率的にシミュレートできます（Gottesman-Knill定理を参照）。{H、CNOT}はサブセットであるため、これも当てはまる必要があります。したがって、作成できる操作は元のセットの操作にすぎません。

私が最もおもしろいと思う普遍的なセットの1つは{Toffoli、H}です。これで十分なのはいつも驚きです（特に前のセットと比較した場合）。複素数は含まれないことに注意してください。

ような 単一の2キュービットゲートから普遍性を得ることが可能です

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

ニールセンとチュアン、10周年記念版の191ページ：

上の任意のユニタリ行列が $d$次元ヒルベルト空間は、2レベルのユニタリ行列の積として記述できます。ここで、単一のキュービットとCNOTゲートを一緒に使用して、次の状態空間で任意の2レベルのユニタリー演算を実装できることを示します。$n$量子ビット。これらの結果を組み合わせると、単一キュービットおよびCNOTゲートを使用して、任意のユニタリ演算を実装できることがわかります。$n$ 量子ビットであるため、量子計算では一般的です。

最初の文は受け入れられた結果であるため、ゲートセットの組み合わせが「任意の2レベルのユニタリ操作」を実装できることを示す必要があります。ウィキペディアを引用するには：

技術的には、可能な量子ゲートの数は数えられないため、これは不可能です。一方、有限集合からの有限シーケンスの数は数えられます。この問題を解決するには、この有限集合からの一連のゲートによって量子演算を近似できることだけが必要です。

このペーパーも参照してください。