量子回路に行列指数を実装する方法は？

簡単な質問かもしれませんが、量子回路で行列を実際にべき乗する方法がわかりません。一般的な正方行列Aがあるとすると、その指数を取得したい場合は、系列を使用できます $e^{A}$

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

その近似を持つこと。量子ゲートを使用して同じことを行う方法がわからないので、たとえばハミルトニアンシミュレーションを実行するためにそれを適用します。手助け？

algorithm quantum-gate gate-synthesis hamiltonian-simulation

— FSic
ソース

を入力として受け取り、

またはハミルトニアンシミュレーションを出力する量子回路（つまり、ユニタリ行列が

一致する回路を構築する）のことを話しているのかどうかは明確ではありません。

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee

私の悪い; 私が意味することは、行列Aをとって、回路に指数関数

を持たせたいことです。

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic

あなたの質問を再定式化する：

$A$

簡単な答え：それは不可能です。

$U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

$A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

$A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

だから興味深い質問は今です：

$A$

$A$

これは非常に大きな研究テーマであり、多くのことを言う必要があります。ここではすべてのメソッドを紹介することはしません。それらは非常に複雑で、すべてを理解していなかったためです。HSに関連し、HSから始めるのが興味深いと思われる論文/プレゼンテーションのリストを次に示します。

小さな量子コンピューターでのハミルトニアンダイナミクスのシミュレーション：HSについてのスライド。プレゼンテーションであっても、これはハミルトニアンシミュレーションで見つけた最も完全なソースです。それはすぐに3つの異なる方法を提示し、それぞれの方法について興味深い論文を引用します。
量子アルゴリズムに関する講義ノート（Andrew M. Childs、2017年）：最近の、かなり完全なもの。HSについては、第25章（123ページ）で説明しています。
疎なハミルトニアンをシミュレートするための精度の指数関数的改善：1で提示された3つの方法の1つを詳細に示します。
疎なハミルトニアンをシミュレートするための効率的な量子アルゴリズム：1で示した3つの方法の別の詳細を示します。

— ネリミー
ソース

参考までに、特に参考にさせていただきます。

— FSic 2018年

最初のリファレンスから始めることをお勧めします。それは最も完全であり、他の記事へのリンクを提供します。私（個人的な見解）にとって、トロッター・スズキの公式を使用した最初の手法が最もわかりやすいです。しかし、それはあなたにとって同じではないかもしれません！

— Nelimee

すべてのエルミート行列はこのプロパティを満たします。より具体的には、すべてのエルミート行列のみがこのプロパティを持っています

— glS 2018