量子アルゴリズムを使用して重み行列の生成を高速化することは可能ですか？

で、この^[1]紙、2ページ、それらは次のようにそれらは重み行列を生成していることを言及します。

W = \frac{1}{M d} [\sum_{m = 1}^{m = M} x^{(m)} {(x^{(m)})}^{T}] - \frac{I_{d}}{d}

$W = \frac{1}{Md}[\sum_{m=1}^{m=M} \mathbf{x}^{(m)}\left(\mathbf{x}^{(m)}\right)^{T}] - \frac{\Bbb I_d}{d}$

ここで、は次元のトレーニングサンプルです（つまり、 where）にあり、合計トレーニングサンプルがあります。行列の乗算とそれに続く項の合計を使用したこの重み付け行列の生成は、時間の複雑さの点でコストのかかる操作のようです。つまり、（？）を推測します。 $\mathbf{x}^{(m)}$ $d$ $\mathbf{x} := \{x_1,x_2,...,x_d\}^{T}$ $x_i \in \{1,-1\} \ \forall \ i\in \{1,2,...,d\}$ $M$ $M$ $O(Md)$

重み付け行列の生成を大幅に高速化できる量子アルゴリズムはありますか？論文では、主な高速化は量子行列反転アルゴリズム（論文で後述）によるものだと思いますが、重み行列生成のこの側面を考慮していないようです。

[1]：量子ホップフィールドニューラルネットワークロイド他（2018）

algorithm neural-network

— サンチャヤンドゥッタ
ソース

密度行列を取る詳細の多くはすべて2ページの次の段落に含まれています。

ρ = W + \frac{I_{d}}{d} = \frac{1}{M} \sum_{m = 1}^{M} | x^{(m)} ⟩ ⟨ x^{(m)} |,

$\rho=W+\frac{I_d}{d}=\frac 1M \sum_{m=1}^M\left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|,$

ニューラルネットワークの量子適応にとって重要なのは、活性化パターンの古典から量子への読み込みです。この設定では、活性化パターン読み取ることは、量子状態を準備することになります。これは、原理的には、量子ランダムアクセスメモリ（qRAM）の開発手法[33]または制限されたオラクルベースの結果が存在する効率的な量子状態準備[34]を使用して達成できます。どちらの場合も、計算オーバーヘッドはに関して対数的です。あるいは、完全に量子的な視点を採用し、活性化パターンをとることもできます $x$ $|x〉$ $d$ $|x〉$ 量子デバイスから直接、または量子チャネルの出力として。前者の場合、量子デバイスがキュービットの数に応じて多項式でスケーリングされる多数のゲートで構成される場合はいつでも、準備実行時間は効率的です。代わりに、後者の場合、通常、チャネルを、実装するための計算オーバーヘッドを必要としない、ある種の固定システム環境の相互作用と見なします。

上記の参照は次のとおりです。

[33]：V. Giovannetti、S。Lloyd、L。Maccone、Quantumランダムアクセスメモリ、Physical Review Letters 100、160501（2008）[ PRL link、arXiv link ]

[34]：AN Soklakov、R。Schack、量子ビットのレジスターのための効率的な状態の準備、Physical Review A 73、012307（2006）。[ PRAリンク、arXivリンク ]

詳細については触れませんが、上記は両方とも実際に効率的なqRAMを実装するためのスキームです。を再現する効率的かつ効率的な状態準備時間における。 $\left|x\right>$ $\mathcal O\left(\log_2 d\right)$

しかし、これは今のところ私たちを取得するだけです。これは状態を作成するために使用できます、可能なすべてのの合計が必要です。 $\rho^{\left(m\right)} = \left|x^{\left(m\right)}\rangle\langle x^{\left(m\right)}\right|$ $m$

$\rho = \sum_m\rho^{\left(m\right)}/M$

そのため、著者は次の3つの想定のいずれかを行います。

彼らはたまたま正しい入力状態を与えるデバイスを持っています
$\rho^{\left(m\right)}$
上記のリファレンスの2番目を使用して、それらのステートを自由に作成できます。次に、量子チャネル（つまり、完全にポジティブなトレース保存（CPTP）マップ）を使用して混合状態が作成されます。

上記のオプションの最初の2つをしばらくの間忘れて（最初のオプションはとにかく問題を魔法のように解決します）、チャネルは次のいずれかになります。

$t$
$n=\lceil\log_2 d\rceil$ $\mathcal O\left(\left(8n^3+n+1\right)4^{2n}\right)$ $\mathcal O\left(27n^34^{3n}\right)$

$a$ $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a$ $d$ $\sum_j\psi_j\left|j\right>_a\left|D_j\right>_d$ $\rho$ $\left|x^{\left(m\right)}\right>$ $\mathcal O\left(n\right)$ $\left|x^{\left(m\right)}\right>$ $\rho$ $\mathcal O\left(n\right)$

^{1チャットでこの可能性を指摘してくれた@glSに感謝}

$e^{-iAt}$

A = (\begin{matrix} W - γ I_{d} & P \\ P & 0 \end{matrix})

$A=\begin{pmatrix}W-\gamma I_d && P\\ P&& 0\end{pmatrix}$

— ミトランジル24601
ソース

| D_{j} ⟩

$|D_j\rangle$