密度行列の背後にある動機は何ですか？そして、純粋な状態の密度行列と混合状態の密度行列の違いは何ですか？

^{これは、純粋な量子状態と混合量子状態の違いは何ですか？＆キュービットの密度行列を見つける方法は？別の答えを書いても大丈夫です。}

動機

密度行列の背後にある動機は、与えられた量子システムの状態に関する知識の欠如を表すことであり、システムについて知っていることを考えると、このシステムの単一の記述内に測定結果のすべての可能な結果を​​カプセル化します。密度行列表現には、グローバルフェーズに関連する問題を取り除くという追加の利点があります

$$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$$ 知識の欠如はさまざまな方法で発生する可能性があります。

• 主観的な知識の欠如-レフェリーが一連の状態のいずれかを準備しますの確率でP 私は、しかし、あなたはどの知りません。彼らはどちらを知っていても| φ jを ⟩あなたは、あなたが、あなたは州とそれらに対応する確率の可能なセットを知っていることに基づいて、それを記述する必要はありませんので、彼らは、準備ρ = Σ I P I | φ I ⟩ ⟨ φ I | 。$\{|\phi_i\rangle\}$$p_i$$|\phi_j\rangle$$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

• 客観的な知識の欠如-量子システムがより大きなもつれ状態の一部である場合、システムを純粋な状態として説明することは不可能ですが、測定のすべての可能な結果は、。$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

しかし興味深いのは、客観的な知識の欠如が主観的になる可能性があることです。つまり、第三者がもつれた状態の残りに対して操作を実行できます。彼らは測定結果などを知ることができますが、それらを渡さない場合、元の量子システムを持っている人は新しい知識がないため、以前と同じ密度行列を使用してシステムを記述しますが、主観的な記述になりました。

また、密度行列を表す特定の方法を選択することに注意することも重要です。たとえば、は非常に主観的な選択です。それは特定の準備手順によって動機づけられるかもしれませんが、数学的には、同じ行列を与えるどんな記述も同等です。たとえば、単一キュビットでは、ρ = $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$は最大混合状態として知られています。基底の完全性の関係により、これは、1キュービット基底を使用して、50：50の混合または2つの直交状態として表すことができます。 $\rho=\frac12\mathbb{I}$

$$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$$

純粋な状態と混合状態

純粋状態と混合状態の密度行列の違いは簡単です。純粋状態は、形式で記述できる特殊なケースです。ψ ⟩ ⟨ ψ | 、この状態では混合状態を書き込むことはできません。数学的には、この混合状態が1よりランク大きくを有している純粋な状態の密度行列はランク1を持ってこれを計算する最良の方法は、を介して行われることを意味Trを（ρ 2）：Trと（ρ 2）= 1は、純粋なことを意味状態、そうでなければ混合されます。これを確認するには、Tr （ρ ）$\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$$\text{Tr}(\rho^2)$$\text{Tr}(\rho^2)=1$、つまり、すべての固有値の合計が1になることを意味します。また、 ρは正の半定値であるため、すべての固有値は実数で非負です。あれば、 ρはランク1で、固有値は（1 、0 、0 、... 、0 ）、およびそれらの和正方形は明らかに和平方非負の数の任意の他の組の1である1つの必見の合計1未満である。$\text{Tr}(\rho)=1$$\rho$$\rho$$(1,0,0,\ldots ,0)$

純粋な状態はシステムの完全な知識に対応しますが、量子力学についての楽しい点は、これが可能な測定結果の完全な知識を意味するわけではないということです。混合状態は、それが準備の知識であろうと、より大きなヒルベルト空間の知識であろうと、いくつかの不完全な知識を表します。

混合状態の記述がはるかに豊富であることは、単一キュービットのブロッホ球の図から見ることができます。純粋な状態はすべて球の表面にある状態であり、混合状態はすべてボリューム内に含まれている状態です。パラメーターのカウントに関しては、2つのパラメーターではなく、3つ必要です。追加のパラメーターはブロッホベクトルの長さに対応します。 N_3要素の単位ベクトルであり、σ_はパウリ行列のベクトルであり、R=1、純粋な状態のため、および0≤R<1混合状態のため。

$$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$$ $\underline{n}$$\underline{\sigma}$$r=1$$0\leq r<1$

密度行列の背後にある動機^[1]：

$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$50\%$$|\psi_1\rangle$$50\%$$|\psi_2\rangle$$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$$\frac{1}{\sqrt {2}}$

例：偏光

$|R\rangle$$|L\rangle$$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$$\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$$\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$$|R\rangle$$|L\rangle$$|R\rangle$$|L\rangle$$|R\rangle$$|L\rangle$$\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$

$\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$$50\%$$\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$$|R\rangle$$50\%$$|L\rangle$$50\%$$50\%$$50\%$

したがって、非偏光は純粋な状態では説明できませんが、少なくとも2つの方法での純粋な状態の統計的アンサンブル（左半分と右半分の円偏光のアンサンブル、または垂直半分と水平半分の直線偏光のアンサンブル）として説明できます。）。これらの2つのアンサンブルは実験的に完全に区別できないため、同じ混合状態と見なされます。密度行列の利点の1つは、混合状態ごとに密度行列が1つしかないのに対し、混合状態ごとに純粋な状態の統計的集団が多数あることです。それにもかかわらず、密度行列には、混合状態の測定可能なプロパティを計算するために必要なすべての情報が含まれています。

混合州はどこから来るのですか？これに答えるために、偏光されていない光を生成する方法を検討してください。1つの方法は、熱平衡でシステムを使用することです。これは、膨大な数のマイクロステートの統計的混合物であり、それぞれが特定の確率（ボルツマン係数）を持ち、熱変動により1つから次のスイッチに急速に切り替わります。熱のランダム性は、たとえば白熱電球が非偏光の光を放射する理由を説明します。非偏光を生成する2番目の方法は、システムの準備に不確実性を導入することです。たとえば、複屈折結晶を通過させます。$\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$

より一般的には、混合状態は通常、開始状態の統計的混合（熱平衡など）、準備手順の不確実性（光子が移動できるわずかに異なる経路など）、またはに絡み合ったサブシステムの観察から発生します。他の何か。

密度行列の取得^[2]：

$p_1$$|\psi_1\rangle$$p_2$$|\psi_2\rangle$

$\hat{O}$

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$$

$\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$$p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

$$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$$

次に、トレースの循環不変性と線形性のプロパティを使用します。

$$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$$

$$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$$

$\rho$

$\rho$

$$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$$

確率が異なるシステムで2つ以上の状態ベクトルが可能である場合に、このロジックを外挿できます。

密度行列の計算：

次の例を見てみましょう。

$1$$2$

$|R\rangle$$|L\rangle$$50%$$\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$$\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$$50\%$

$50\%$ $|R\rangle$$50\%$ $|L\rangle$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$$

$\{|R\rangle, |L\rangle\}$$|R\rangle$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$|L\rangle$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$

ケース2：＆$50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$$50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

$$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

基底、は、およびとして表すことができますとして表すことができます$\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$$\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$ したがって、ケース1とケース2の両方で同じ密度行列が得られることがはっきりとわかります。

ただし、垂直平面偏光子（3）を通過すると、残りの光子はすべて垂直偏光（4）になり、純粋な状態密度行列になります。

$$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$$

基底、は示される及びと表記することができる$\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$$|R\rangle$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$|L\rangle$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$$

$$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

単一キュービットの場合：

システムにキュービットが1つだけ含まれていて、その状態が（）これで、1キュービットシステムの状態が、確率であることが既にわかっています！$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$$|\alpha|^2+|\beta|^2$$|\psi\rangle$$1$

この場合、密度行列は次のようになります。

$$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$$

正規直交基底を使用している場合、$\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$

密度行列は次のようになります。

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

これは上記の「ケース2」と非常に似ているため、計算は示していません。この部分が不明確な場合は、コメントで質問できます。

ただし、@ DaftWullieが回答で行ったように、基準を使用することもできます。$\{|0\rangle,|1\rangle\}$

1キュービット状態の一般的なケースでは、ベースの密度行列は次のようになります。$\{|0\rangle,|1\rangle\}$

$$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$$

$$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$$

この行列等、つまりことに注意してください。これは、純粋な状態の密度行列の重要な特性であり、混合状態の密度行列と区別するのに役立ちます。ρ = ρ $\rho$$\rho = \rho^2$

義務的な演習：

1.純粋な状態の密度行列をの形式に対角化できることを示し。2.純粋な状態の密度行列がべき等であることを証明します。$\text{diag}(1,0,0,...)$

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出典と参考文献：

[1]：https : //en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]：https : //physics.stackexchange.com/a/158290

画像クレジット：

ユーザーKaidor 上のウィキメディア