なぜ（ほぼ）すべてのハミルトニアンのペアが、反復転流によってエルミート行列の空間全体を生成するのですか？

[1]では、ハミルトニアンの異なるセットの繰り返し適用を使用してハミルトニアンをシミュレーションする問題が説明されています。

特に、と一対のエルミート演算子とし、をから交換を繰り返すことで生成した代数とする $A$ $B$ $\mathcal L$ $A, B$ $^{\mathbf{(\dagger)}}$ ます。

次に、著者は（3ページ目の最初の段落）に、オブザーバブルと任意のペアのは何であるかを尋ね、（論文から引用して）と両方でない限り、はすべてのエルミート行列の空間であると主張します。は、以外のいくつかのリーグループの次元のユニタリ表現にあります。 $\mathcal L$ $A$ $B$ $\mathcal L$ $e^{iA t}$ $e^{iB t}$ $n$ $U(n)$

私はリー代数の理論にあまり慣れていないので、このステートメントは私にはかなり不可解です。これをより明確に示すにはどうすればよいですか？同様に、この事実を示す直接的な方法はありますか？

：より明確には、これは、によって張られるベクトル空間である $(\dagger)$ $A, B, i[A,B], [A,[A,B]], ...$

[1]ロイド1995、ほとんどすべての量子論理ゲートはユニバーサルであり、PRLにリンクしています。

simulation

— glS
ソース

リー代数をもっと好きな人のために：これらの2つの記号A、Bを取り、無料のリー代数

ます。したがって、

にはまだリー代数であることを確認する関係以外には関係はありません。次に、

を実際の行列に至る表現にします（したがって、

は、上記でAと呼んでいるものです）。ここから、柏原ヴァーンの名の下にあるいくつかの非常に強力な定理があります。これらは、長いベイカー・キャンベル・ハウスドルフ式（トロッターよりも強い式）を理解するのに役立ちます。

F r e e_{2}

$Free_2$

†

$\dagger$

ρ

$\rho$

ρ (A)

$\rho (A)$

— AHusain

@AHusainは答えに値するもののように聞こえます（私には簡単に理解できるものではありませんが、それでも..）！

— glS 2018年

私はリー代数の理論にあまり慣れていないので、このステートメントは私にはかなり不可解です。これをより明確に示すにはどうすればよいですか？同様に、この事実を示す直接的な方法はありますか？

ほぼ同時に、David Deutsch et al。この論文でも同じことが証明されました：量子計算における普遍性（1995）ですが、論文全体で「代数」または「嘘」という単語を使用していません。証明は3ページから始まり、要点は式（3）にあります。これはセスロイドの論文に出てくるのと同じ方程式ですが、ここでは「リー代数」を参照せずに説明します。Eq。9は、物理学で「トロッター分割」と呼ばれることの多いアプリケーションです。それはSophus Lieによってほぼ100年前に書き留められましたが、式で行われるように式を適用するためにリー代数またはベクトル空間についてさえ何も知る必要はありません。9。

— ユーザー1271772
ソース

どういたしまして:)それが役に立てば幸い！

— user1271772

なぜこれが質問に答えますか？論文では、H1とH2は（スワップによって）関連しているため、質問で尋ねられたように、それらはまったく独立していないように見えます。

— Norbert Schuch