ショーのアルゴリズムでどの整数が因数分解されましたか？

Shorのアルゴリズムにより、現代の古典的なコンピューターで実行可能な整数よりもはるかに大きい整数を因数分解できるようになると期待されています。

現在、より小さい整数のみが因数分解されています。たとえば、このペーパーでは因数分解について説明します。 $15=5{\times}3$

この意味で、最先端の研究とは何ですか？いくつかの大きな数字が因数分解されたと言っている最近の論文はありますか？

shors-algorithm

密接に関連しているが、正確に重複していない：非特異的実験でQCによって因数分解された最大数はどれですか？

— あがいたありの

回答:

21（7x3）の素因数分解は、Shorのアルゴリズムでこれまで行われた中で最大のようです。このペーパーで詳述されているように、2012年に行われました。ただし、ここで詳しく説明しているように、最小化アルゴリズムを使用して、2014年の56,153などのはるかに大きい数値がファクタリングされていることに注意してください。便利なリファレンスについては、このペーパーの表5を参照してください。

{\begin{matrix} Table 5: Quantum factorization records \\ \begin{array}{cccccc} Number & # of factors & \begin{matrix} # of qubits \\ needed \end{matrix} & Algorithm & \begin{matrix} Year \\ implemented \end{matrix} & \begin{matrix} Implemented \\ without prior \\ knowledge of \\ solution \end{matrix} \\ 15 & 2 & 8 & Shor & 2001 [2] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2007 [3] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2009 [5] & χ \\ 2 & 8 & Shor & 2012 [6] & χ \\ 21 & 2 & 10 & Shor & 2012 [7] & χ \\ 143 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 56153 & 2 & 4 & minimization & 2012 [1] & ✓ \\ 291311 & 2 & 6 & minimization & not yet & ✓ \\ 175 & 3 & 3 & minimization & not yet & ✓ \end{array} \end{matrix}}_{.}

$\begin{array}{c} \textbf{Table 5:}~\text{Quantum factorization records} \\ \hline \small{ \begin{array}{cccccc} \text{Number} & \text{# of factors} & \begin{array}{c}\text{# of qubits} \\ \text{needed} \end{array} & \text{Algorithm} & \begin{array}{c}\text{Year} \\ \text{implemented} \end{array} & \begin{array}{c}\text{Implemented} \\ \text{without prior} \\ \text{knowledge of} \\ \text{solution} \end{array} \\ \hline 15 & 2 & 8 & \text{Shor} & 2001~\left[2\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2007~\left[3\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2009~\left[5\right] & \chi \\ & 2 & 8 & \text{Shor} & 2012~\left[6\right] & \chi \\ 21 & 2 & 10 & \text{Shor} & 2012~\left[7\right] & \chi \\ 143 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ 56153 & 2 & 4 & \text{minimization} & 2012~\left[1\right] & \checkmark \\ \hline 291311 & 2 & 6 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \\ 175 & 3 & 3 & \text{minimization} & \text{not yet} & \checkmark \end{array}} \end{array}_{\Large{.}}$

— ヘザー
ソース

@SqueamishOssifrage：最小化アルゴリズムは、「数ビットの位置のみが異なる、または数個を除くすべての位置が異なるなど、探索空間をはるかに小さくする関係が既知の因子を持つ数値に限定される」とはどういうことですか？

— user1271772

@ user1271772私が理解しているように、この手法は、要因のビット間の既知の関係によって変数を削除することにより、扱いやすい数のキュービットのみを必要とする問題を減らすことに依存しています。因数

に対するキュービットの数は

のみに比例し

、キュビットの数または

関数として解くまでの時間の伸びを推定しようとする論文はありませんでした。。

N

$N$

O (\log^{2} N)

$O(\log^2 N)$

\log N

$\log N$

— きしむオシフェラージ

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

\log (N)

$\log(N)$

\log^{2} N

$\log^2 N$

— user1271772

@SqueamishOssifrage：「私が読んだ論文はどれも、キュービット数の関数として解決までの時間の伸びを推定しようとはしなかったようです」。これは試みを行いました：journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.101.220405 しかし、「解決までの時間」は重要なことではなく、必要な努力です。GNFのふるいは簡単ですが、マトリックスのステップは恐ろしく面倒です。Shorのアルゴリズムを適度に最適な方法で実行するのは面倒です。最小化アルゴリズムは簡単です。

— user1271772

@SqueamishOssifrage：最後に：「最小化アルゴリズムは既知の関係を持つ要素に制限されていることに注意してください」..「既知の」関係に制限されるアルゴリズムの部分はありません。アルゴリズムは、要因について何も想定していません。関係なし。ビットはすべて最小化によって決定される未知の変数です。最小化は、他の数よりも少ない数の量子ビットで実行できます。同じことがShorのアルゴリズムにも当てはまります。GNFSについても同様です。実際、因数分解したい数が偶数であれば、それを因数分解するのはかなり簡単です。

— user1271772

$21=7\times 3$ $a$

アニーリングアルゴリズムの場合：最新技術は376289です。しかし、これがどのように拡大するかはわかりません。RSA-230の因数分解に必要なキュービット数の非常に大まかな上限は55億キュービットです（ただし、これはより優れたコンパイラーによって大幅に削減できます）一方で、Shorのアルゴリズムは381キュービットでそれを実行できます。

— user1271772
ソース

あなたは、「ソリューションの事前知識なしに実現」のための列があります私の答えの表に気づくでしょう、私は似た何かがファクタリング15のために真実であると信じるにつながる、「X」のためのすべてショアのアルゴリズムの実装があるのです

— ヒース

因数分解された数の大きさは、因数分解問題の複雑さ、およびそれに対応する量子アルゴリズムの能力に対する適切な尺度ではありません。関連する尺度は、アルゴリズムに現れる結果の関数の周期性である必要があります。

これについては、J。スモリン、G。スミス、A。バルゴ：量子コンピューターで大きな因子を装うふりをして、Nature 499、163-165（2013）で説明されています。特に、著者は、2量子ビット量子コンピューターで因数分解できる20000 2進数の数値の例を示します。これは、他の数値を因数分解するために以前に使用されたものとまったく同じ実装です。

著者がこの量子アルゴリズムに到達するために実行する「手動による単純化」は、たとえば元の実験ファクタリング15に対しても行われていることに注意してください。

— ノーベルト・シューチ
ソース