「表面コード」とは何ですか？（量子誤差補正）

量子コンピューティングと情報を勉強しています。「Surface Code」というフレーズに触れましたが、それが何であり、どのように機能するかについての簡単な説明が見つかりません。うまくいけば、皆さんがこれで私を助けることができます。

注：複雑な数学を使用できる場合は、ある程度量子力学に精通しています。

error-correction terminology

ようこそ！明確にするために、答えはトーリックコードとスタビライザーコードをすでにウィキペディアレベルで検討していると仮定すべきですか？

— あがいたありの

トーリックコードやスタビライザーコードについては知りません：| しかし、私はそれについて読みます

— イバノビッチ

いいね！それから、それは素晴らしいスタートになると思います。おそらくそれらを簡単に見て、質問にさらに詳細を入れることをお勧めします。あなたがすでに理解していると思うものと、まだあまり意味をなさないもの。回答が得られると、これはあなたの後を追う人々にとって非常に役立つQ＆Aになります。これらは重要な概念であり、用語は実際には少しわかりにくいものです。

— -agaitaarino

関連： SE.Physicsの「量子誤差補正：表面コードとカラーコード」。

— ナット

簡単なことは知りませんが、arxiv.org / abs / 1208.0928から表面コードについて学び始めました。

— クレイグギ

回答:

表面コードは、量子ビットの2Dラティスで定義された量子エラー訂正コードのファミリーです。このファミリ内の各コードには、バルクで同等に定義されているが、境界条件が互いに異なるスタビライザーがあります。

サーフェスコードファミリのメンバーは、より具体的な名前で説明されることもあります。トーリックコードは、周期的な境界条件を備えたサーフェスコードであり、平面コードは、平面上で定義されたコードなどです。これは、サーフェスコードファミリの最も現実的な例であるため、「平面コード」と交換可能です。

表面コードは現在、大きな研究領域ですので、いくつかの優れたエントリポイント（上記にリンクされているWikipediaの記事に加えて）を示します。

表面コードは、クディットに一般化することもできます。詳細については、こちらをご覧ください。

— ジェームズ・ウートン
ソース

表面コードは、トポロジカル量子コンピューターでのみ機能しますか？

— イヴァノビッチ

表面コードは、どの量子ビットでも機能します。ある意味では、表面コードを使用すると、トポロジカルでない量子ビットを使用してトポロジカル量子コンピュータを作成できます。

— ジェームズウートン

「表面コード」の用語は少し変数です。クラス全体、異なるラティス上のトーリックコードのバリアントを参照する場合もあれば、オープン境界条件を持つ正方ラティス上の特定のバリアントである平面コードを参照する場合もあります。

トーリックコード

Toricコードの基本的なプロパティのいくつかを要約します。周期的な境界条件を備えた正方格子を想像してください。つまり、上端が下端に結合され、左端が右端に結合されます。一枚の紙でこれを試してみると、ドーナツの形、つまりトーラスが得られます。この格子上で、正方形の各エッジにキュービットを配置します。

安定剤

次に、オペレーターの束全体を定義します。格子上のすべての正方形のために（各辺の中央に4つの量子ビットを含む）、我々は、書き込み作用Pauli- 4つの量子ビットの各々に回転します。ラベルは「プラケット」を指し、単なる指標であるため、後でプラケットのセット全体を数えることができます。ラティスのすべての頂点（4キュビットに囲まれている）で、を定義しますは星の形を指します。繰り返しますが、このようなすべての用語をまとめてみましょう。

B_{p} = X X X X,

$B_p=XXXX,$

X

$X$

p

$p$

A_{s} = Z Z Z Z .

$A_s=ZZZZ.$

s

$s$

これらの用語はすべて相互に通勤していることに気付きます。の場合は簡単ですなぜならパウリの演算子は自分自身とと通勤するから。より多くの注意がで必要とされる、これら二つの用語のいずれかの共通の0又は2の部位を有し、かつ異なるパウリ演算子の対は、通勤ことボットノート $[A_s,A_{s'}]=[B_p,B_{p'}]=0$ $\mathbb{I}$ $[A_s,B_p]=0$ $[XX,ZZ]=0$ 。

コードスペース

これらの演算子はすべて通勤するため、それらすべての同時固有状態を定義できますよう $|\psi\rangle$ これにより、コードのコードスペースが定義されます。どのくらい大きいかを判断する必要があります。

\forall s : A_{s} | ψ ⟩ = | ψ ⟩ \forall p : B_{p} | ψ ⟩ = | ψ ⟩ .

$\forall s:A_s|\psi\rangle=|\psi\rangle\qquad\forall p:B_p|\psi\rangle=|\psi\rangle.$

$N\times N$ $N^2$ $2^{N^2}$ $N^2$ $A_s$ $B_p$ $\pm 1$ $A_s^2=B_p^2=\mathbb{I}$

$\prod_sA_s=\prod_pB_p=\mathbb{I}$ $A_s$ $B_p$

論理演算子

$X_{1,L}$ $Z_{1,L}$ $X_{2,L}$ $Z_{2,L}$

[X_{1, L}, X_{2, L}] = 0 [X_{1, L}, Z_{2, L}] = 0 [Z_{1, L}, Z_{2, L}] = 0 [Z_{1, L}, X_{2, L}] = 0

$[X_{1,L},X_{2,L}]=0\quad [X_{1,L},Z_{2,L}]=0 \quad [Z_{1,L},Z_{2,L}]=0\quad [Z_{1,L},X_{2,L}]=0$

{X_{1, L}, Z_{1, L}} = 0 {X_{2, L}, Z_{2, L}} = 0

$\{X_{1,L},Z_{1,L}\}=0\qquad\{X_{2,L},Z_{2,L}\}=0$

異なる演算子にラベルを付ける方法には、いくつかの異なる規則があります。私のお気に入り（おそらくあまり人気がない）に行きます：

$Z$ $Z_{1,L}$
$Z$ $X_{2,L}$ $Z_{2,L}$
$X$ $Z_{2,L}$
$X$ $X_{1,L}$

$X$ $Z$

| ψ_{x, y} ⟩ : Z_{1, L} | ψ_{x, y} ⟩ = (- 1)^{x} | ψ_{x, y} ⟩, Z_{2, L} | ψ_{x, y} ⟩ = (- 1)^{y} | ψ_{x, y} ⟩

$|\psi_{x,y}\rangle: Z_{1,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^x|\psi_{x,y}\rangle,\qquad Z_{2,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^y|\psi_{x,y}\rangle$

$N$ $N$

エラーの検出と修正

$A_s$ $B_p$ $\pm 1$

$X$ $-1$ $+1$ $X$ $X$ $X$

エラー修正しきい値

$N$ $N$ $N$ $X$ $Z$ $p$ $p=0.11$ $11\%$ 。また、有限のフォールトトレラントしきい値があります（キュービットごとのエラーレートでの誤った測定と修正が可能です）

平面コード

詳細は、格子の境界条件が周期的ではなく開いていることを除いて、トーリックコードとほぼ同じです。これは、端でスタビライザーがわずかに異なって定義されることを意味します。この場合、コードには2つではなく1つの論理キュービットしかありません。

— ダフトウォリー
ソース