与えられたユニタリに対応するユニバーサル量子ゲートの最短シーケンス

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質問：キュビットに作用するユニタリ行列が与えられた場合、そのユニタリに対応するクリフォード+ Tゲートの最短シーケンスを見つけることができますか？ $n$

質問の背景として、2つの重要な参考資料：

Kliuchnikov、Maslov、およびMosca によってクリフォードおよびTゲートによって生成された単一キュービットユニタリーの高速かつ効率的な正確な合成
GilesとSelingerによるマルチキュービットClifford + T回路の正確な合成。

circuit-construction universal-gates gate-synthesis

— user120404
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ようこそ！コンテキストのトピックに2つの参照を追加しました。それらが適切でない場合は、ロールバックするか修正してください。さらに、質問に詳細を追加できればそれは素晴らしいでしょう:)

— agaitaarino 2018年

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最適な分解を行うことは明らかに未解決の問題です。（そしてもちろん、分解は扱いにくく、大きなゲートです。）最初に尋ねる「より単純な」質問は、任意の角度での最も短いシーケンスのノットと単一キュービット回転です（IBM 、リゲッティ、そして間もなくグーグルが現在提供している、ゲートのこの普遍的な基盤は、クリフォードとtゲートの基盤という観点から表現できます。この「より単純な」質問も開かれており、一意ではない答えがあります。関連する質問は、基底状態から特定の最終状態に移行するために、普遍的な根拠からゲートを正確に最適に分解することです。 $\exp(n)$ $n$

正確な分解について言及していると思います。近似分解が必要な場合は、Trotter-Suzuki分解や正確な分解の近似など、さまざまな方法があります。

Qubiterの「量子csdコンパイラ」は、LAPACKの有名なcsd（Cosine-Sine Decomposition）サブルーチンを使用して、任意のnキュービットユニタリをノットおよびシングルキュービットrotに非最適化分解します。進取的な人の中には、Qubiterの量子コンパイラの最適化を見つけようとする人もいます。たとえば、Qubiterのコンパイラーを使用して（私はこれについて論文を書きました）、古典的なコンピューターに、Coppersmithの量子フーリエ変換分解を再発見させることができます！

Qubiterはオープンソースであり、githubで入手できます（完全な開示-私が作成しました）。

— rrtucci
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クリフォードゲートの乗算のみで構成されるユニタリーの分解も扱いにくいですか？私はランダムな回路ジェネレーターを構築したいと思っています。最終的に確定的な（この場合は初期と同じ）状態になるように、ランダムゲートの後に反転層を挿入したいと思います。しかし、回路をミラーリングするだけでなく、入力回路がクリフォードのみで構成されている場合は、反転レイヤーを効率的に計算できるのではないかと思いました。

— Kelthar

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提供されたユニタリ（エントリに対する理論上の制限の数）に対して正確な合成が可能であったため、質問で説明されているアルゴリズムによって、そのユニタリを実装した一連のClifford + Tゲートが得られたとします。Giles-Selinger論文に記載されているように、最適とはほど遠いシーケンスが得られます。したがって、この時点で、Clifford + Tゲートセットによって生成されたグループの単語の問題に減少しました。一部のグループには、グループの同じ要素をそのクラス内で最短の正規形に表現しながら、特定の単語を短縮するアルゴリズムがあります。他の人はしません。

原理を説明するための詳細：キュービットがあるとします。示しなどキュビットに位相ゲートを行う発電機の、のための等が挙げられる。これらの各々の制御は、文字として扱われています。アルゴリズムは、これらのジェネレーターでいくつかの単語を吐き出します。グループは、これらのジェネレーターとや場合）などの多くの関係を持つグループです $2$ $S_1$ $1$ $CNOT_{12}$ $1$ $S_i^4=1$ $X_i Y_j = Y_j X_i$ $i \neq j$ 他の多くの関係の中で。したがって、これは有限生成グループを定義します。提供されたアルゴリズムからの単語はありますが、最適化されていないため、このグループの単語の問題で便利な最短の正規形を提供することがタスクです。したがって、という単語を指定すると、リレーション 2回、リレーションを1回使用して、同じグループ要素を表す短い単語としてを取得できます。特定のグループプレゼンテーションについて、任意の単語を取得してそれを削減するアルゴリズムが必要です。通常、これは不可能です。 $S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$ $S_1 S_2 = S_2 S_1$ $S_1^4=1$ $S_2$

以下の免責事項：Jon Aytacとの今後のプロジェクト/ Haskell実装ジョイント。

私はクリフォード+ Tゲート・セットの単語問題の可解性については知らないが、一つは唯一の対合（それらを呼び出すとシンプルな何かを行うことができますそのセット内）とフォームの関係だけ。これは、クリフォード+ Tゲートセットに関連するコクセターグループですが、効率的に解ける単語の問題があります。したがって、Giles-Selingerアルゴリズムの結果を取得し、これらの非常に単純な関係のみを使用して（これらのインボリューション文字のみのセグメントを見た後で）潜在的に短縮することができます。実際、特定のユニタリを取り、それをClifford + Tに近似または正確に合成するアルゴリズムは、この手順にフィードして、わずかに短縮することができます。 $r_i$ $(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$

— アフセイン
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