なぜ量子ゲートはユニタリであり、特別なユニタリではないのですか？

状態のグローバルフェーズを物理的に識別できないのに、なぜ量子回路は特別なユニタリではなくユニタリに関して表現されるのですか？私が得た1つの答えは、それは単に便宜上のものであるということでしたが、私はまだ不明です。

関連する質問は次のとおりです。ユニタリ（数学行列）との物理的な実装に違いはありますか？、いくつかの基本的なゲートに関して言うと？存在しないと仮定します（これは私の理解です）。次に、との物理的な実装は同じである必要があります（基本ゲートにコントロールを追加するだけです）。しかし、その後、これら2つのユニタリのとは位相まで（数学行列として）等しくない可能性があるという矛盾に陥るので、異なる物理的実装に対応していると考えられます。V ：= E I α U C - U C - V C - U C - $U$$V: =e^{i\alpha}U$$c\text{-}U$$c\text{-}V$$c\text{-}U$$c\text{-}V$

ここでの推論で間違ったことは何ですか？これは、とがフェーズまで同等であるにもかかわらず、別々に実装する必要があることを示唆しているためです？$U$$V$

別の関連する質問（実際、私の混乱の原因は、この質問への回答に感謝します）：量子回路を使用して、複雑なオーバーラップのモジュラスと位相の両方を推定できるようです（https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016を参照）。しかし、これはとが測定可能なほど異なることを再び意味しないのでしょうか？U E I α$\langle\psi|U|\psi\rangle$$U$$e^{i\alpha}U$

特別な単一操作のみに制限しても、状態はグローバルフェーズを累積します。たとえば、は特別な単位ですが、です。 Z ⋅ | 0 ⟩ = I | 0 ⟩ ≠ | 0 $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

状態がとにかく観測不可能なグローバルフェーズを蓄積する場合、特別な単一操作に制限することからどのような利点が得られますか？

ユニタリ（数学行列）との物理的な実装に違いはありますか？V ：= E I α$U$$V :=e^{i\alpha}U$

グローバルフェーズを関連性のあるものにすることを何もしていない限り、それらは同じ実装を持つことができます。しかし、あなたが何かをするつもりなら、ええと-

基本ゲートにコントロールを追加する

ええそうです そのようなことをすれば、グローバルフェーズを無視できません。コントロールは、グローバルフェーズを相対フェーズに変換します。グローバルフェーズを完全に無視する場合は、ブラックボックスの「コントロールの追加」操作修飾子を使用できません。

量子ゲートがユニタリであるという事実は、（閉じた）量子システムの進化がシュレーダー方程式によるという事実に根ざしています。特定のユニタリ変換を一定の速度で実現しようとしている時間間隔では、時間に依存しないシュレディンガー方程式を使用します。

$$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$$

ここで、はシステムのハミルトニアンです。エルミート行列の固有値はエネルギーの固有値を表します。特に、の固有値は実数です。この方程式の解は$H$$H$

$$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$$ ここで、は、の固有ベクトルを取得し、その固有値を置き換えることにより取得します。したがって、実固有値を持つ行列から、固有値が単位ノルムを持つ複素数である行列を取得します。$U = \exp(-iHt/\hbar)$$H$$E$$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$

この進化が具体的に特別なユニタリ行列になるには何が必要でしょうか？特別なユニタリ行列は、行列式が正確にである行列です。つまり、その固有値はすべて乗算されます。これは、の固有値がすべてゼロになるという制限に対応します。さらに、の固有値のでエネルギーレベルであるかどうか$1$$1$$H$$H$固有値の合計がゼロに等しいのは、ゼロエネルギーポイントを修正することをどのように決定したかによって異なります。これは、実際には参照フレームの主観的な選択です。（特に、すべてのエネルギーレベルが非負であるという規則を採用することにした場合、これはゼロに合計するエネルギー固有値の特性を持つ興味深いシステムがないことを意味します。）

要するに、ゲートの決定要因は物理的に意味のあるプロパティに対応していないため、ゲートは特別なユニタリではなくユニタリです。物理ダイナミクスではなく、自分の参照フレームの条件です。

たとえば、量子回路図のゲートを作成する場合、（特別なユニタリグループから）決定基を持つという規則を使用して、いつでもゲートを記述できますが、これは単なる規則です。実装する回路に物理的な違いはありません。別の場所で述べたように、自然に生成するものが特別なユニタリに直接対応するかどうかは、実際には慣習の選択であり、0エネルギーをどこに定義するかです。

制御された実装を開始するときの問題に関しては、興味深い比較を行う必要があります。を定義するとしましょう。制御観点から制御を実装するにはどうすればよいですか？制御されたを適用してから、制御キュービットにフェーズゲート。ここで注意すべき点が2つあります。まず、違いはターゲットキュービットではなくコントロールキュービットにあります。実装しているターゲットキュービットV = E I α V U U （1 0 0 E I α） U （E - I α / 2 0 0 E I α / 2$U$$V=e^{i\alpha}$$V$$U$$U$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$$U$、位相の違いはあまり気にしません。位相ゲートがヒットするのは制御キュービットです。2番目は、フェーズゲートを特別なユニタリとして記述しなかったことです。もちろん、書くこともできますしかし、私はそれを書いた方法が記法的にはより便利だったので、そうしませんでした-私のために書くことは少なく、うまくいけば、なぜそれが機能するかをあなたにすぐに明白にします。$\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

単純明快な答え：デコヒーレンスがない場合、状態ベクトルはハミルトニアンに従って進化します。これが「ゲート」が行っていることです。ハミルトニアンはエルミート型でなければならないため、この変換はユニタリです。ハミルトニアンは合計が0になる固有値を持つ必要がないため、変換は特別なユニタリである必要はありません。$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$$H$