d = 4のキューディットシステムと2キュービットシステムの違いは何ですか？

クディットは量子システムであることを理解しています。d = 4の場合、これは2つのキュービットシステムとまったく同じですか？4つの量子状態も提示しますか？ヒルベルト空間も同じですよね？理論的または実際的な違いはありますか？$d$$d=4$$4$

量子ビットの場合、通常、すべての演算子はパウリ行列に基づいています。基本的なゲートセットは、パウリ行列自体、やSのようなクリフォードゲートで構成されています。$H$$S$パウリ行列間をマッピングする、パウリ固有の状態に応じて1つのキュービットにパウリを実装するCNOTなどの制御された操作などで構成されます。

より大きな次元の量子システムについては、同じ役割を演じる基本的な演算子のセットを見つける必要があります。$d$

1つのアプローチは、パウリ行列を一般化することです。順序がグループを選択し、そのグループに基づいて演算子を定義します。これは実際に安定化コードを一般化することに重点を置いていますが、これを行う方法に関する私の重要なテキストです。$d$

また、インスピレーションを得るためにスピンオペレーターを調べることもできます。パウリ行列はスピン説明システム。したがって、高次元のシステムでは、より高いスピンの演算子を見ることができます。ただし、同じ種類の優れたプロパティはありません。したがって、これは一般的なアプローチではないようです。$1/2$

いずれにせよ、ヒルベルト空間は同じであり、それらに基づくユニバーサルQCは同じものです。唯一の違いは、基本的なゲートセットです。そのため、特定のタスクに必要なゲートの数は、定数と係数の点で異なる場合があります。そして、数学は一方よりも他方よりも良いかもしれません。しかし、複雑さは同じです。

はいヒルベルト空間は同じですが、同型選択する必要があり。しかし、セットアップが異なると、あるセットアップで簡単に実装できるユニタリが、別のセットアップでは困難になることがあります。例えば、のような2つの量子ビットゲートのものとして σ Z ⊗ 1が簡単になります。しかし、あなたはその同型4〜4によって、一体としてこと書く場合 φかもしれないが、実装が容易とされない代わりに、ということ。ヒルベルト空間と、プログラムの観点から書きたい簡単な操作の両方を言う必要があります。$\phi : \; \; (\mathbb{C}^2)^{\otimes 2} \simeq \mathbb{C}^4$$\sigma_z \otimes 1$$\phi$

2種類のシステムの基本的な違いは、2キュービットシステムが実際にエンタングル状態になる可能性があることです。一方、エンタングルメントは常に複数のパーティに対して定義されるため、単一のd = 4次元システムにはエンタングルメントがありません。したがって、エンタングルメントをリソースとして活用する量子プロトコルの目的では、2量子ビットシステムと単一の4次元量子システムは大きく異なります。

実験や実装を検討する場合にも違いがあります。物理キュービットを作成するには、2レベルの量子システムを使用する必要があります。クディットは、より複雑な量子システムを必要とします。たとえば、ad = 4クディットに対して4つのレベルがあります。より複雑なシステムを使用するための工学的正当性は、4レベルのシステムのうち必要なものが少ないことです。

「一対のキュービット」と単一の「4次元キューディット」の唯一の違いは、「2つのキュービット」、それに対して実行できる操作の種類を暗黙的に仮定していることです。

特に、2つのキュービットを2つの異なるシステムとして扱うことができる場合、つまり、2つのキュービットをローカルで処理できる場合にのみ、2つのキュービットについて話すのが理にかなっています。同様に、2つの量子ビットで実行できると想定できる操作の種類は、量子での操作とは異なります。

実用的な観点から見ると、違いは、量子ビット（の集合）ではなく、量子ビットの集合について話すとき、異なる操作を「簡単に利用できる」と考える傾向があることです。