量子エラー訂正コード表記は何を表していますか？

古典的な誤り訂正符号の表記を理解しています。たとえば、「Hamming（7,4）」は、7ビットを使用して4ビットのブロックをエンコードするハミングコードを表します。

量子エラー訂正コードの表記はどういう意味ですか？たとえば、[[4,2,2]]コードを扱った論文があります。これらの3つの数字は何ですか？ダブルブラケットは何を表していますか？

アン codeは、いくつかのエンコードされた状態を別のエンコードされた状態にマップするすべての操作が少なくとも dキュビットに作用するように、 nキュビット状態で kキュビットをエンコードする量子エラー訂正コードです。（例えばだから、せいぜいからなるエラーが施されている任意の符号化状態 ⌊ （D - 1 ）/ 2 ⌋パウリ操作は、原則としてBEに完全に回収することができます）。$[\![n,k,d]\!]$$k$$n$$d$$\lfloor (d-1)/2 \rfloor$

この表記は、古典的なエラー訂正コードの表記を一般化したものです。kビットの「プレーンテキスト」文字列は、少なくともdビットを反転する必要があるように、nビットの「コードワード」文字列にエンコードされます。異なる平文を表す2つのコードワード間で変換する。（このコンテキストおよび量子の場合、dはコード距離と呼ばれます。）二重括弧は、参照されるコードが従来のコードではなく量子誤り訂正コードであることを単に示すために使用されます。$[n,k,d]$$k$$n$$d$$d$

コードを取る：$\left[\left[n, k, d\right]\right]$

これに相当する古典的なものはコードで、これはkビットをエンコードするビット数nを参照するコードです。3番目の数値dは、任意の2つのコードワード間の最小ハミング距離です。これは、非ゼロコードワードの最小ハミング重み（つまり、非ゼロビットの数）に等しくなります。$\left[n, k, d\right]$$n$$k$$d$

古典的な場合と同様に、量子の場合、最初の2つの数は、量子ビットの数を参照し、量子ビットをk個エンコードします。dがまだ距離を指すために使用されるが、の定義の距離が変更されなければなりません。$n$$k$$d$

$t$$E_a$$\left(X, Y \text{ or } Z\right)$$E_1 = X\otimes I\otimes I\otimes Z\otimes I$$E_1$$t=2$$\left<j\vert E_a\vert i\right>\neq C_a\delta_{ji}$$C_a$$i$$j$

詳細については、たとえば、Preskillの量子計算ノートの第7章を参照してください。