高次ヒルベルト教会の意義

「高次ヒルベルト空間の教会」という用語は、量子チャネルおよび量子状態を分析するときに、量子情報で頻繁に使用されます。

この用語は何を意味しますか（あるいは、「高次ヒルベルト宇宙教会へ行く」という用語は何を意味しますか）？

大きい（または高い、または大きい）ヒルベルト空間の教会は、一部の人々が好む（私自身も含めて）いくつかの操作を書き直すためのトリックです。

システムについて書き留めることができる最も一般的な操作は、完全に正のマップによって記述されますが、ユニタリで物事を記述するのが好きです。同様に、測定の場合、ヒルベルト空間のサイズを大きくすることにより、一般的な測定値を射影測定値に変換できます。また、混合状態は、より大きなシステムの純粋な状態として説明できます。

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例

量子ビットを取り、確率何も行わず、確率でがビット反転演算適用するマップを考えてみてください： これはユニタリではありませんが、2つのキュービットのユニタリとして記述できます（つまり、ヒルベルト空間次元2からヒルベルト空間次元4に移動することによって） ）。これは、状態余分なキュービットを導入し、新しいキュービットによって制御された非制御を実行し、元のキュービットをターゲットにすることで機能します。 p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | ↦ （1 − p ）| ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X $1-p$$p$$X$

$$|\psi\rangle\langle\psi|\mapsto (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X$$ | ψ⟩（$\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle$ $$|\psi\rangle(\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle)\mapsto|\Psi\rangle=\sqrt{1-p}|\psi\rangle|0\rangle+\sqrt{p}\left(X|\psi\rangle\right)|1\rangle.$$ 元のキュービットだけでシステムの動作を取り戻すには、新しいキュービットをトレースします。 つまり、ユニタリを実装した後は、新しいキュービットの存在を無視するだけです！操作のためのより大きなヒルベルト空間の教会を示すだけでなく、これは状態についてもそれを示すことに注意してください- ヒルベルト空間のサイズを大きくすることにより、混合状態を純粋状態することができます。 $$\rho={\rm Tr}_2\left(|\Psi\rangle\langle\Psi|\right)= (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X.$$ $\rho$$|\Psi\rangle$

「より高いヒルベルト空間の教会」は、ジョン・スモリンによって造られた用語です。quantikiによると：

[...]許容量子操作のセットのきちんとした特性を提供するチャネルと状態の拡張構成

ウィキペディアを引用すると、それ：

量子システムのすべての混合状態をより大きなシステムの純粋に絡み合った状態とみなし、すべての不可逆的進化をより大きなシステムの可逆的（単一）進化とみなす習慣を記述します。

このPhysics.SEの回答も参照してください。