明示的なリーブロビンソン速度範囲

Lieb-Robinsonの境界は、局所ハミルトニアンのためにシステムを介して効果が伝播される方法を記述します。それらはしばしば形態に記載されている及び距離によって分離されている演算子であるハミルトニアン格子上その格子上に局所的な（例えば、最近傍の）相互作用があり、ある程度の強度によって制限されています。Lieb Robinson限界の証明は、通常、速度（依存）の存在を示します。これは、これらのシステムのプロパティをバウンディングするのに非常に役立ちます。たとえば、ここには本当に素晴らしい結果がいくつかありました

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$

J

$J$ 最近傍ハミルトニアンを使用してGHZ状態を生成するのにかかる時間に関して。

私が抱えていた問題は、証明が十分に一般的であるため、特定のシステムで速度が実際に何であるかについて厳密な値を取得することが難しいことです。

具体的には、ハミルトニアン

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$ によって結合されたキュービットの1次元チェーンを想像してください。

ここで、

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$ はすべて

n

$n$ です。ここ

X_{n}

$X_n$ 、

Y_{n}

$Y_n$ と

Z_{n}

$Z_n$ 所定の量子ビットに印加されるパウリ演算子を表し

n

$n$ 、および

I

$\mathbb{I}$ 他の場所。方程式のシステムのLieb-Robinson速度 $v$ に適切な（つまり、できるだけタイトな）上限を与えることができます。（1）？

この質問は、2つの異なる仮定の下で尋ねることができます。

$J_n$ と $B_n$ すべての時間に固定されています。
$J_n$ と $B_n$ 時間で変化することが許可されています。

前者は証明を容易にする可能性のある強力な仮定であり、後者は通常リーブ・ロビンソンの境界のステートメントに含まれます。

動機

量子計算、より一般的には量子情報は、興味深い量子状態を作ることになります。などの作品を通して、この、我々は情報がこのような式のようハミルトニアンに進化を受け、量子システム内のある場所から別の場所に伝播するために、ある程度の時間を要することがわかります。（1）、およびGHZ状態などの量子状態、またはトポロジカルな秩序を持つ状態は、生成に一定の時間を要します。現在表示されている結果はスケーリング関係です。たとえば、必要な時間は $\Omega(N)$ です。

だから、線形にスケーリングする方法で、情報転送を行うか、GHZ状態などを生成するスキームを考えてみましょう。実際にそのスキームはどれくらい良いですか？明示的な速度がある場合、下限と比較して、私のスキームでスケーリング係数がどれだけ密接に一致しているかがわかります。 $N$

ある日、私が見たいのはラボに実装されているプロトコルだと思う場合、広範なスケーリング機能だけでなく、これらのスケーリング係数を最適化することに非常に気を配ります。ノイズがやって来て、すべてを台無しにします。

さらに詳しい情報

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ このハミルトニアンには、計算を簡単にするための優れた機能がいくつかあります。特に、ハミルトニアンは標準基底の1の数に基づく部分空間構造をもち（励起保存と言われています）、さらに良いことに、ヨルダン-ウィグナー変換は、より高い励起部分空間のすべての特性を導出できることを示しています1励起部分空間から。 $N\times N$ $h$ $2^N\times 2^N$ $H$ 、ここで Lieb-Robinsonの速度は、ここやここなどのであるといういくつかの証拠がありますが、これらはすべて、グループ速度を持つ、ほぼ均一に結合したチェーンを使用しています（そして、グループ速度は、リーブ・ロビンソン速度）。結合強度のすべての可能な選択がそのように制限されている速度を持っていることを証明しません。

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$

v = 2 J

$v=2J$

2 J

$2J$

モチベーションをもう少し上げることができます。チェーンの一端から始まる単一の励起の時間発展と、チェーンのもう一方の端に到達するための振幅が、短い時間後であることを考えてください。で最初に並べると、これは Lieb-Robinsonシステムで定義された「ライトコーン」の外側にあると予想される指数関数を見ることができますが、さらに重要なことは、その振幅を最大化する場合は、すべての設定します $\ket{1}$ $\ket{N}$ $\delta t$ $\delta t$

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$

J_{n} = J

$J_n=J$ 。したがって、短時間で、均一に結合されたシステムが最も迅速な転送につながります。これをさらに推し進めるために、ちょっとしたごまかしとして、大きな制限を採用し、階乗にスターリングの式を使用すると、なり、最大速度が約あることを示唆します。近いが、厳密ではない（高次の用語は無視できないため）！

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$

N

$N$

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$

e J

$eJ$

simulation performance many-body-systems

— ダフトウォリー
ソース

そのモデルの証明から最適なLRバインドを計算しましたか？引用した速度と比較してどうですか？

— ノーベルトシュー

少なくとも、現在の解釈では、量子コンピューティングの問題であると認めています。「情報/状態/ ...転送の最大速度を生成するおよび選択（いくつかの制約があります）。」---これは正しい解釈ですか？

J_{n}

$J_n$

B_{n}

$B_n$

— ノーバートシュー

@NorbertSchuchまったくそうではありません。「特定のスケーリングを備えたプロトコルを実現する一連のカップリングを考え出しました。そのプロトコルは、リーブ・ロビンソンの境界によって制約されることが知られています。その制約をどの程度飽和させますか？」私のプロトコルの速さの尺度として。

— -DaftWullie

@DaftWullieだから-あなたは質問です：「私はどれくらい最適に近くなっていますか」または「私はある種の限界にどれだけ近づいていますか（可能な限りタイトなものを取ります）」？

— ノーバートシュー

@ user1271772それは正しいです。

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

一般的な局所的に相互作用する格子モデルに直面しているときに合理的にタイトなリーブ・ロビンソン（LR）速度を得る方法についての一般的な質問に最初に答えさせてください。正確に解ける特別な。

一般的な方法

（一般的な短距離相互作用モデルの）今日までの最も厳しい限界を取得する方法は、Ref1 = arXiv：1908.03997で紹介されています。基本的な考え方は、不等時間整流子の標準任意のローカル演算子間の上限は、モデルの可換性グラフ上にある一連の1次線形微分方程式の解によって上限を設定できます。Ref1のSec.II Aで導入された可換性グラフは、モデルハミルトニアンから簡単に描画でき、で提示される異なるローカル演算子間の交換関係を反映するように設計されています $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ $\hat{H}$ $\hat{H}$ 。並進不変システムでは、微分方程式のこのセットは、フーリエ変換によって簡単に解決することができ、上部LR速度の下限最大固有振動数から算出することができる使用します式（31）のRef1の。以下では、教育的例としてこのメソッドを1D XYモデルに適用します。簡単にするために、時間に依存しない変換不変のケース、焦点を当てます（結果の境界は符号に依存しません $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ $|J_n|=J>0$ $B_n,J_n$ ）。変換が不変で時間依存の場合、微分方程式を数値的に解く（これは数千のサイトのシステムで簡単な計算タスクです）か、全体の上限を使用できますを実行し、以下の方法を使用します（ただし、これは数値的方法と比較してわずかに妥協します）。 $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$

まず、以下のように可換性グラフを描きます。ハミルトニアンの各演算子〜（、、）は頂点で表され、対応する演算子がない場合にのみ2つの頂点をリンクします（または、現在のケースでは、通勤禁止）。 $X_{n}X_{n+1}$ $Y_nY_{n+1}$ $Z_n$
次に、Ref1の微分方程式Eq。（10）を。
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
上記の方程式をフーリエ変換すると、固有周波数はです。LR速度は、Ref1の式（31）で与えられ：ここで
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

注：この境界は、ときに分岐しますが、物理情報の伝播速度は有限のままです。この問題は、Secのメソッドを使用して取り除くことができます。Ref1の VI 。結果はになります。ここで、は方程式の解として定義されます。。 $B/J\to \infty$ $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ $\mathcal{X}_y$ $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$

一部のクラシックモデルの速度範囲

上記の方法は完全に一般的です。さらに興味がある場合のために、同様の方法で取得したいくつかの古典的なモデルの速度範囲を次の表にリストしました。LR速度は、リストされているすべての式の最小値によって上限が設定されていることに注意してください（したがって、異なるパラメーター領域では異なる式を使用する必要があります）。関数は、の最大ルートとして定義されすべてのパラメーターは正と見なされます（負の場合は絶対値を取るだけです）。 $v_{\text{LR}}$ $F(J_x,J_y,J_z)$ $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

これらの境界がどれほど良いかについては、一般的には調査していませんが、臨界点での1D TFIMの場合、正確な解はを与え、上記の境界は与えます。同様に、FHのポイントとハイゼンベルグXYZ のポイントでは、上記の境界はすべて正確な解よりもます。[実際、これらの特別なポイントでは、後者の2つはTFIMの分離されたチェーンと同等であり、それらの可換性グラフから直接判断できます。] $J=h$ $v_{\text{LR}}=2J$ $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ $U=0$ $J_x=J_y,J_z=0$ $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$

自由フェルミオンへのマッピングによる1D XYのより厳密な制限

次に、1D XYモデルについて詳しく説明します。お気づきのように、自由フェルミオンにマッピングすることで正確に解決できます。一般的な場合、フリーフェルミオンの問題を数値的に解く必要がありますが、分析的に扱いやすい2つの特殊なケースについて言及します。

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ は固定されており、変換不変です。正確な解はここで、は次数のベッセル関数です。したがって、LR速度はです。
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ $|n-m|$ $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$
$B_n,J_n$ は時間的に固定されていますが、完全にランダムです（急冷障害）。その後、多体局在化（またはフェルミオン写真のアンダーソン局在化）により、このシステムでは情報が伝播しないため、ます。より厳密には、arXiv：quant-ph / 0703209で、無秩序なケースについて次の限界が証明されています：減速、対数光円錐と。 $v_{\text{LR}}=0$
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ $d_{XY}=\xi \ln t$

— ラグレング
ソース

を使用して、すべての モデル（並進不変性のないモデルを含む）について、速度がと言うことを推測する必要がありますか？

X Y

$XY$

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$

— DaftWullie

@DaftWullieいいえ、一般的な方法では、係数の絶対値が厳密に減少しない境界が常に与えられるため、一般的な方法のパラメーターには全体の上限のみを使用できます。境界は、自由フェルミオンの厳密解から取得されます。この解では、パラメーターの全体的な上限を使用できず、ケースバイケースで解決する必要があります。場合、変換不変である、あなたは設定することができための一般的な方法でとの用語通勤、およびget。

2 J

$2J$

B_{n} (t)

$B_n(t)$

B = 0

$B=0$

B

$B$

\hat{H}

$\hat{H}$

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$

— Lagrenge

@DaftWullie親愛なるDaftWullie、私の答えにまだ足りないものがある、またはまだ不明な点があると思うなら、私に知らせてください。

— Lagrenge

答えは潜在的に有用に見えます。まだあなたの論文を見る時間はありませんでした（数週間かかるかもしれません）。私がすべてを理解していると仮定すると、それがあなたの答えを受け入れるポイントです。

— DaftWullie