量子エンタングルメントとは何ですか？それは量子エラー訂正でどのような役割を果たしますか？

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量子もつれとは何か、そして量子エラー訂正においてそれがどのような役割を果たすのかを理解したい。

注：@JamesWoottonおよび@NielDeBeaudrapの提案に従って、ここで古典的なアナロジーについて別の質問をしました。

entanglement error-correction

— チンニ
ソース

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これは、質問されたように少し広すぎると主張します。おそらく「量子エラー訂正に絡み合いが必要な理由」のようなもので、古典的なアナロジーについては別の質問があります。

— James Wootton、2018

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私は質問を1つまで編集しましたが、それがピラミッドの答えよりも私の答えに偏っていることに気づきました。しかし、@ Chinni、私はJamesに同意します。2つの質問のうちの1つに焦点を当てるべきです。

— Niel de Beaudrap

@JamesWoottonとNiel、アドバイスありがとうございます。これからも覚えておきます。しかし、この質問に対する回答はすでに3つあるので、2つの別々の質問に分けてもかまいませんか？

— Chinni

@Chinni大丈夫だと思う。おそらく、回答の下のコメントで回答者に通知する必要があります。回答者は回答を「分割」することもできます（該当する場合）。

— 離散トカゲ

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変数間の古典的な相関関係は、変数がランダムに表示されたときに発生しますが、その値は何らかの方法で系統的に一致（または不一致）します。ただし、特定の場合に変数が何をしているかを正確に「知っている」誰か（または何か）が常に存在します。

変数間のエンタングルメントは、最後の部分を除いて同じです。ランダム性は本当にランダムです。ランダムな結果は、測定時まで完全に未定です。しかし、どういうわけか、変数は銀河によって分離されているかもしれませんが、依然として同意することを知っています。

では、これはエラー修正にとって何を意味するのでしょうか。簡単なビットのエラー訂正について考えることから始めましょう。

クラシックビットを格納する場合、ビットフリップや消去など、心配する必要のあるエラーの種類は異なります。だから何かがあなたを0にするかもしれない1、またはその逆または、あなたのビットがどこかに放浪するかもしれません。

情報を保護するために、論理ビット（保存する実際の情報）が単一の物理ビットに集中していないことを確認できます。代わりに、それを広げます。したがって、たとえば、多くの物理ビットに情報をコピーする単純な繰り返しエンコーディングを使用できます。これにより、物理ビットの一部が失敗した場合でも、情報を取得できます。

これがエラー修正の基本的な仕事です。エラーを混乱させるのを難しくするために、情報を広げます。

キュービットの場合、気になるエラーの種類は他にもあります。たとえば、量子ビットが重ね合わせ状態になる可能性があり、測定によってこれらが変化することがわかります。したがって、不要な測定は、環境が相互作用する（したがって、ある意味では、キュービットを「見ている」）ことによって引き起こされる別のノイズ源です。このタイプのノイズはデコヒーレンスと呼ばれます。

それでは、これはどのように影響しますか？キュービットで繰り返しエンコーディングを使用するとします。したがって、必要な論理キュービット状態のをに置き換え、多くの物理キュービットにわたって繰り返し、を置き換えます。これにより、ビットフリップと消去から保護されますが、浮遊測定がさらに容易になります。これで、環境は、多くのキュービットのいずれかを見て、とどちらを持っているかを測定します。これにより、デコヒーレンスの効果がはるかに強くなります。これは、私たちが望んでいたこととはまったく異なります。 $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

これを修正するには、ビットフリップと消去を困難にしたのと同じように、デコヒーレンスが論理キュービット情報を乱さないようにする必要があります。これを行うには、論理キュービットを測定することを困難にする必要があります。もちろん、やりたいときにいつでもできるほど難しくはありませんが、環境が簡単にできるほど難しいです。これは、単一の物理キュービットを測定しても、論理キュービットについて何もわからないことを確認することを意味します。実際、我々は、量子ビットの全情報を測定し、それらの結果を比較して、量子ビットに関する情報を抽出する必要があるようにする必要があります。ある意味では、それは暗号化の一種です。絵が何であるかを理解するのに十分なパズルのピースが必要です。

私たちはこれを古典的にすることを試みることができました。情報は、多くのビット間で複雑な相関関係に分散する可能性があります。十分なビットを調べ、相関関係を分析することで、論理ビットに関する情報を抽出できます。

しかし、これがこの情報を取得する唯一の方法ではありません。前に述べたように、古典的には、すでにすべてを知っている誰かまたは何かが常に存在します。それが人であるか、暗号化が行われたときに引き起こされた空中のパターンだけであるかは問題ではありません。いずれにせよ、情報はエンコーディングの外部に存在し、これは本質的にすべてを知っている環境です。その非常に存在は、デコヒーレンスが修復不可能な程度に発生したことを意味します。

だから絡み合いが必要な理由です。これにより、量子変数の真の認識できないランダムな結果の相関関係を使用して、情報を隠すことができます。

— ジェームズウットン
ソース

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もつれは、量子情報と量子計算の自然な部分です。それが存在しない場合---エンタングルメントが発生しないような方法で実行しようとした場合---量子計算から何の利益も得られません。そして、量子コンピューターが何か面白いことをしている場合、それは少なくとも副作用として、多くのもつれを生み出します。

しかし、これはもつれが「量子コンピューターを動かすもの」であることを意味するものではありません。絡み合いは、機械の回転する歯車のようなものです。回転していない場合は何も起こりませんが、これらの歯車をすばやく回転させるだけで、機械が望みどおりの動作をするようになるというわけではありません。（エンタングルメントはこのように通信用のプリミティブリソースですが、誰もが見ている限りでは計算用ではありません。）

これは、計算の場合と同様に、量子エラー訂正にも当てはまります。すべての形式のエラー修正と同様に、量子エラー修正は、特に特定の測定可能な情報の相関において、より大きなシステムの周りに情報を分散させることによって機能します。エンタングルメントは、量子システムが相関する通常の方法に過ぎないため、優れた量子エラー訂正コードに多くのエンタングルメントが含まれることは当然のことです。しかし、それは、ある種のヘリウム風船のように、「絡み合いの完全なシステムをポンプする」ことは、量子情報を保護するために有用または意味のあるものであることを意味しません。

量子エラー訂正はエンタングルメントの観点から漠然と説明されることもありますが、より重要なのは、さまざまな「オブザーバブル」を使用したパリティチェックがどのように行われるかです。これを説明するための最も重要なツールは、スタビライザー形式です。スタビライザー形式は、大量のエンタングルメントを持ついくつかの状態を記述するために使用できますが、さらに重要なことに、マルチキュービットプロパティ（ "オブザーバブル"）についてかなり簡単に推論することができます。その観点から、量子エラー訂正は、一般的なエンタングルメントだけでなく、スピンハミルトニアンの低エネルギー多体物理学にはるかに密接に関連していることが理解できるようになります。

— ニール・ド・ボードラ
ソース

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もつれに相当する古典的なものはありません。絡み合いは、恐らくディラック（bra-ket）表記法を使用して最もよく理解されます。

この例では、絡み合ったキュビットが偶然反対の状態にあることは重要ではありません。それらは同じ状態にある可能性があり、依然として絡み合っている可能性があります。重要なのは、それらの状態が互いに独立していないことです。これは、キュビット（またはそれらを運ぶ粒子）が厳密に局所的な特性を同時に持つことができず、リアリズムと呼ばれる概念によって管理されることを意味するため（物理状態としてそれらの状態を反映する）、物理学者にとって大きな頭痛の種となっています。アインシュタインは、その結果としてのパラドックス（もしあなたがまだ不安定さとリアリズムを仮定しているなら）を「遠くでの不気味な行動」と呼びました。

エンタングルメントは、量子エラー訂正において特別な役割を果たしません。エラー訂正は、計算ベース（エンタングルメントがない）のすべての状態で機能する必要があります。次に、これらの状態（絡み合った状態の可能性があります）の重ね合わせに対しても自動的に機能します。

— ピラミッド
ソース

これをよりよく理解したいのですが、もつれがある場合、これらのエラー修正アルゴリズムのパフォーマンスは向上しますか、それとも悪化しますか？また、もつれのない量子系を作ることは可能ですか？

— Chinni

もつれの有無は、量子エラー訂正に影響を与えません。はい、もつれのない量子系があります。それは（最初の量子ビットの状態）のように書くことができるので、状態、そのようなシステムは、製品の状態と呼ばれている（第二量子ビットの状態）、等

\otimes

$\otimes$

— ピラミッド

@ピラミッド：「エンタングルメントに相当する古典はありません」という文は（言うのは一般的ですが）わずかに強い文です。古典的な類似物はありますが、それほど神秘的ではありません。エンタングルメントとは何かを説明します---そして、エンタングルメントが古典的なアナログと混同しないようにするために、「エンタングルメントには古典的なアナログがない」と大胆に主張します。しかし、エラー訂正のコンテキストでは、その古典的なアナログの役割は正確にそれは作るものですので、問題の古典誤り訂正作業を。

— ニール・デ・Beaudrap

@NieldeBeaudrapエンタングルメント（非製品状態）を理解する方法として、このステートメントは過度に強力ではなく正確です。

— ピラミッド

相関する古典的な確率変数のペアも非積状態であり、エンタングルメントの古典的な類似物であるのは、まさにこの方法です。あなたの声明を「強い」とするのは、「非アナログ」現象ではなく「アナログ」現象の間に線を引く場所に選択の自由があり、高いしきい値で線を引いたことがあるということです（現状のまま）歴史的な理由から、通常は絡み合いと関係しています。

— Niel de Beaudrap

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pureと呼ばれる特定のクラスのコードの場合、もつれの存在は、量子エラー訂正、つまり特定の数までのサブシステムに影響するすべてのエラーを訂正するために必要かつ十分な要件です。

量子エラー修正コードが特定のエラーセットを検出できるようにするためのKnill-Laflamme条件を思い出してください：コード空間にまたがる正規直交基底を選択します次に、エラーは、次の場合にのみ検出できます。 $\{E_\alpha\}$ $|i_\mathcal{Q}\rangle$ $E_\alpha$

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

は定数であり、特定のエラーにのみ依存し、およびは依存しないことに注意してください。（これは、エラーがコードサブすべての状態に同じように影響することを意味します）。以下の場合には、コードと呼ばれる場合純粋。考慮される多くのスタビライザーコードはこの形式ですが、Kitaevのトーリックコードではありません。 $C(E_\alpha)$ $E_\alpha$ $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

$E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

$d$ $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

従ってせいぜい上のすべての観測当事者が消失され、上のすべての低減密度行列当事者が最大限に混合されなければなりません。これは、が、パーティーと他のパーティーの選択に対して最大限絡み合うことを意味します。 $(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

補遺（十分性のため）：式と同等の定義として。（1）：未満の場所に作用するすべてのエラー、すべての、次の条件が成立する場合にのみ検出できます。 $E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

純粋なコードの場合、上記の表現は消えます。したがって、すべての状態が（d-1）パーティと残りのパーティションのすべての2パーティションに対して最大限絡み合う部分空間がある場合、それは距離純粋なコードになります。 $d$

tl; dr：距離が大きい場合、純粋なコードは非常に絡み合った状態で構成されます。これは、コードの存在にとって必要かつ十分な要件です。 $d$

補遺：私たちはこの質問をさらに調査しました。詳細は、ペーパー「最大距離の量子コードと非常に絡み合った部分空間」にあります。トレードオフがあります。量子コードが訂正できるエラーが多いほど、コード空間内のすべてのベクトルが絡み合う必要があります。これは理にかなっています。もし情報が多くの粒子に分散されていなければ、環境は-いくつかのキュービットを読み取ることによって-コード空間でメッセージを回復できるからです。これにより、クローンなしの定理により、コード化されたメッセージが必ず破棄されます。したがって、距離が長い場合は、高いエンタングルメントが必要です。

— フェリックスフーバー
ソース

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これが量子コードにおけるエンタングルメントの役割を考える方法です。これは、Felix Hubers応答を補完するものだと思います。

最大に絡み合った状態を取り、システムを量子誤り訂正コードに記録するとします。コードがサブシステムを記録し、任意の1つのサブシステムの消去を修正できるとします（簡単な例を挙げましたが、一般化は可能です）。 $|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

次に、（より代数的なKnill-Laflamme条件と比較して）エラー修正条件についてエントロピー的な考え方があります。具体的には、

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

次に、はから回復できることになります。この事実の見事な説明については、たとえばarXiv：quant-ph / 0112106を参照してください。 $Q$ $S_1S_2$

このエントロピー手法を使用してエラーを修正すると、コードのもつれを理解するためのかなり直接的な方法があります。たとえば、私たちはそれを証明することができます、

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

次のように。まず、この相互情報をその定義の観点から書きます。

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

の状態が純粋になるように、浄化システム導入します。次に、純度を使用して $X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

からを回復できるため、ことに注意してください。上記でこれを使用する $Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

最後に、ここの右側をます。これを行う方法の背後にある直感は、それ自体がに関する情報を示さない共有のセット（たとえば）があるという意味でが「重要」であるということですが、一緒にを回復することができます。これを考えると、はのエントロピーを運ぶ必要があると予想していを転送すると、相当のエンタングルメントを確立できるからです。同様の直感がarXiv：quant-ph / 0608223に表示されます。より正確には、量を考慮します $2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$ 、いくつかの基本的な操作で明らかになります

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

しかし、その後、私たちは気づく以来回復できますしながら、エントロピー誤差補正条件によって。この下限なので、下限です。 $I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— アレックス・メイ
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