重ね合わせと混合状態の違いは何ですか？

これまでの私の理解は、純粋な状態はシステムの基本的な状態であり、混合状態はシステムに関する不確実性を表します。ただし、重ね合わせも一種の状態の混合であるように見えるので、どのように重ね合わせるのでしょうか？

たとえば、公正なコインフリップを考えてみましょう。「ヘッド」と「テール」混合状態として表すことができます：| 1 ⟩ ρ 1 = Σ jの$\left|0\right>$$\left|1\right>$

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

ただし、「heads」と「tails」の重ね合わせも使用できます。特定の状態密度あり$\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

計算ベースで測定すると、同じ結果が得られます。重ね合わせ状態と混合状態の違いは何ですか？

いいえ、2つの異なる状態の重ね合わせは、同じ状態の混合物とはまったく異なる獣です。それはあなたのことを例に見えるかもしれないがと ρ 2、同じ測定の結果の農産物（それは確かにそうである）すぐに別の基礎で測定して、彼らが測定して異なる結果が得られますよう。$\rho_1$$\rho_2$

ような「重ね合わせ」は純粋な状態です。これは、完全に特徴付けられた状態であることを意味します。言い換えれば、説明に追加された情報を「未定」にする情報量はありません。すべての純粋な状態は、他の純粋な状態の重ね合わせとして記述できることに注意してください。与えられた状態をを他の状態の重ね合わせとして書くことは、文字通り、いくつかの基底に関してベクトルを書くことと同じです。基底をいつでも変更して、異なる表現を見つけることができます。| ψ ⟩ $\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

これは、質問のような混合状態とは正反対です。の場合、結果の確率的性質は、状態自体に関する無知に依存します。これは、原則として、が実際に状態または状態かどうかを示す追加情報を取得できることを意味ます。ρ 1 ρ 2 $\rho_1$$\rho_1$$\rho_2$$\up$$\down$

一般に、混合状態は純粋な状態として記述できません。これは上記の物理的直観から明らかなはずです：混合状態は物理的状態についての無知を表しますが、純粋な状態は完全に定義された状態であり、量子力学の仕組みによる確率的な結果をもたらします。

実際、特定の（一般的に混合された）状態がとして記述できるかどうかを判断する簡単な基準がありますいくつかの（純粋な）状態：その純度を計算します。状態の純度はとして定義され、状態が純粋である場合（および未満の場合のみ）の状態の純度はであるという標準結果ですさもないと）。| ψ ⟩ ⟨ ψ | | ψ $\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$1 $\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

簡単な答えは、量子情報には「不確実性」以上のものがあるということです。これは、状態を測定する方法が複数あるためです。そしてそれは、原理的には、あなたが保存した情報を検索することができ、その中に複数の根拠があるからです。重ね合わせにより、計算ベースとは異なるベースで情報を表現できますが、状態を見るためにどのベースを使用しても、混合は確率的要素の存在を表します。

より長い答えは次のとおりです—

説明したとおりの測定は、特に計算ベースでの測定です。これは簡潔さのために単に「測定」と呼ばれることが多く、コミュニティの大部分のサブセットは、これを物事を測定する主要な方法であると考えています。しかし、多くの物理システムでは、測定基準を選択することが可能です。

上のベクトル空間には複数の基底（さらに複数の正規直交基底）があり、数学者にとっては、数学者が考えるのに便利なことを別にすれば、ある基底を別の基底より特別なものにすることはあまりありません約。量子力学でも同じことが言えます。特定のダイナミクスを指定しない限り、他のダイナミクスよりも特別な根拠はありません。つまり、計算ベース はように、物理的に基本的に他とは異なりません。 | 0 ⟩ = [ 1 0 ]$\mathbb C$ | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ | ψ⟩∈C2| +⟩| - $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ これは正規直交ベースでもあります。つまり、結果の確率がこれらの状態への投影に依存するような方法で、状態を「測定」する方法があるはずであることを意味します and。$\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

一部の物理システムでは、この測定を実行する方法は、文字通り同じ装置を使用し、Z軸ではなくX軸と一致するように傾けることです。数学的に、これを行う方法は、プロジェクターを考慮することです 何突起尋ねる次いで及びと。のノルム二乗は、「測定| φ+⟩：=Π+| ψ⟩| φ-⟩：=Π-| ψ⟩| φ±⟩| +⟩| -⟩| φ+⟩| φ−⟩| +⟩| -⟩Π+Π

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$"および"測定;およびまたはを1のノルムに正規化すると、測定後の状態が得られます（単一キュービットの状態の場合、これは単にまたはます。マルチキュービット状態を考慮し、多くのキュービットのいずれかに作用するプロジェクターまたはを考慮すると、より興味深い測定後状態が生じる可能性があります）$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

密度演算子の場合、測定を実行する状態を取り、およびます。これらの演算子は、状態がと同じように1未満のトレースを持つ可能性があるという意味で、非正規化されます。トレースの値は確率です。結果の取得または of測定; 再正規化するには、投影された演算子をスケーリングしてトレース1にします。$\rho$$\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

上記の状態考慮してください。基準で測定すると、ます。これは、演算子をで射影すると状態が変化し、測定値に対して結果が得られる確率が1であることをます。代わりにでこれを行うと、50/50取得の機会のいずれかまたは。したがって、状態は混合状態ですが、ははありません---違いは | ± ⟩ ρ 2 = ρ 2 、+：= Π + ρ 2 Π + Π + | + ⟩ ρ 1 | + ⟩ | - ⟩ ρ 1 ρ 2 ρ 2 ρ $\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$標準ベースとは異なる測定ベースで明確な結果が得られます。は、計算ベースとは異なるベースではあるが、明確な情報を保存していると言うかもしれません。$\rho_2$

より一般的には、混合状態は最大固有値が1未満の状態です。つまり、明確な結果を得るために測定できる基礎はありません。重ね合わせにより、計算ベースとは異なるベースで情報を表現できます。混合は、システムの測定方法に関係なく、検討しているシステムの状態に関するある程度のランダム性を表します。

glSの投稿とともに：

ペンキの缶があれば混合状態になりますが、青か黄色かはわかりません。あなたはそれが2つのうちの1つであることを知っています、そしてあなたが上をポップしてそれを測定したら、あなたは知っているでしょう、しかしあなたがそれをするまでそれらの2つの純粋な状態の1つにあります。黄色と同じくらい多くの青いペンキの缶があることを知っている缶のスタックからそれを拾った場合、あなたはそれがどちらかである等しい機会を期待するでしょう。時間の50％は100％の黄色で、時間の50％は100％の青色です。

重ね合わせは、青の缶の半分と黄色の缶の半分を取り、それらを一緒に注ぐ場合に似ています。これで、他の純粋な状態の組み合わせとして表現可能な新しい純粋な状態が構築されました。「青さ」をテストすると、約50％です。「黄色度」をテストすると、約50％です。それは同時に黄色と青の両方です。100％の時間は、50％の青色と50％の黄色の両方です。

青または黄色の缶のあるスタックで青と黄色の量を測定し、次に緑の別のスタックで青と黄色の量を測定した場合、両方のスタックで同じくらいの青と黄色があることに混乱するかもしれませんが、違いは「青さ」と「黄さ」は、後のスタックでは混合状態ですが、後者では重なっています。