量子コンピューターが素因数の計算に優れている理由は何ですか？

量子コンピューターに関する一般的な主張の1つは、従来の暗号化を「破る」能力です。これは、従来の暗号化が素因数に基づいているためです。これは、従来のコンピューターでは計算に費用がかかりますが、量子コンピューターにとってはささいな問題だと思われます。

量子コンピューターのどの特性が、従来のコンピューターが失敗するこのタスクを可能にし、量子ビットを素因数の計算の問題にどのように適用するのですか？

短い答え

$\newcommand{\modN}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,N}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$量子コンピューターはアルゴリズムのサブルーチンを実行できます因数分解のために、既知の従来の同等物よりも指数関数的に高速です。これは、古典的なコンピューターでも高速に実行できないことを意味するものではありません。今日の時点では、古典的なアルゴリズムが量子アルゴリズムと同じくらい効率的に実行される方法がわかりません。

長い答え

量子コンピューターは、離散フーリエ変換が得意です。ここには遊びがたくさんありますが、それは「平行」や「速い」だけでは捉えられないので、獣の血に浸りましょう。

ファクタリングの問題は、次のとおりである：数を考えるとのp、qが素数である、あなたが回復しないかのpとqは？1つのアプローチは、次のことに注意することです。p 、q p $N = pq$$p,q$$p$$q$

数値\ modN {x}を見ると、xはNと共通の因子を共有している$\modN{x}$か、共有していないかのどちらかです。$x$$N$

もし株式共通因子、およびの倍数ではない自体、我々は簡単の共通因子何を求めることができおよび（最大の共通因子のためのユークリッドアルゴリズムによって）です。N x $x$$N$$x$$N$

それほど明白ではない事実：と共通の因子を共有しないすべてのの集合は、乗法群ます。どういう意味ですか？ここでウィキペディアのグループの定義を見ることができます。グループ演算を乗算して詳細を入力しますが、ここで本当に気にするのは、理論の次の結果です：シーケンスN mod $x$$N$$\on{mod} N$

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

が共通の因子を共有しない場合（、試してください）周期的になります。x = 2 N = $x,N$$x = 2$$N = 5$

$$\newcommand{\mod}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,5} \mod1 = 1,\quad \mod4 = 4,\quad \mod8 = 3,\quad \mod{16} = 1.$$

今どのように多くの自然数以下のを持つ任意の共通要因を共有していない？それは、オイラーのtotient関数によって答えられ、です。N N （p − 1 ）（q − 1 $x$$N$$N$$(p-1)(q-1)$

最後に、グループ理論の主題である繰り返しチェーンの長さをタップします

$$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$$

その数を除算。したがって、べき乗の周期がわかっている場合は、が何であるかの推測をまとめることができます。さらに、が何であり、が何であるか（Nは忘れないでください！）がわかっている場合、2つの未知数を持つ2つの方程式があります。。x $(p-1)(q-1)$（p − 1 ）（q − 1 ）（p − 1 ）（q − 1 ）p q p 、$x \mod N$$(p-1)(q-1)$$(p-1)(q-1)$$pq$$p,q$

量子コンピューターはどこに来るのですか？期間発見。フーリエ変換と呼ばれる演算があります。これは、周期関数合計として書かれた関数を取りここでは数値、は周期周期関数で、新しい関数ように。a 1 e 1 + a 2 e 2。。。I E I P I F F（P 、I）= $g$$a_1 e_1 + a_2 e_2 ...$$a_i$$e_i$$p_i$$\hat{f}$$\hat{f}(p_i) = a_i$

コンピューティングフーリエ変換すると、通常積分として導入されていますが、（Iちょうどデータの配列に適用したいとき^番目の配列の要素である）あなたは、このツールを使用することができますと呼ばれる離散フーリエ変換され金額を「配列」をベクトルのように非常に大きなユニタリ行列で乗算します。$f(I)$

ユニタリという言葉の強調：これは、ここで説明する本当に任意のプロパティです。ただし、重要なポイントは次のとおりです。

物理学の世界では、すべての演算子は同じ一般的な数学的原則である統一性に従います。

つまり、そのDFT行列演算を量子演算子として複製するのは不合理ではないということです。

ここで、 Qubit配列が可能な配列要素をことができるようになります（その説明については、オンラインで問い合わせるか、コメントを削除してください）。2 $n$$2^n$

同様に、 Qubit量子演算子は、その量子空間全体に作用し、解釈できる答えを生成できます。2 $n$$2^n$

詳細については、このウィキペディアの記事を参照してください。

Qubit のみを使用して、指数関数的に大きなデータセットでこのフーリエ変換を行うことができれば、周期を非常にすばやく見つけることができます。$n$

期間を非常に迅速に見つけることができれば、推定値を迅速に組み立てることができます。$(p-1)(q-1)$

知識があれば、それを高速に行うことができればを確認する際にことができます。p 、$N=pq$$p,q$

これが非常に高いレベルでここで起こっています。

量子コンピューターを多数の因数分解に優れたものにしているのは、周期発見の問題を解決する能力です（そして、素因数の発見と周期発見を関連付ける数学的な事実）。これは基本的に、Shorの簡単なアルゴリズムです。しかし、それは量子コンピューターを周期発見で優れたものにしているのかという疑問を投げかけているだけです。

期間発見の中核となるのは、ドメイン全体で（つまり、考えられるすべての入力に対して）関数の値を計算する機能です。これは量子並列処理と呼ばれます。これ自体は十分ではありませんが、干渉（特定の方法で量子並列性の結果を結合する能力）とともに、それは十分です。

この答えはちょっとしたハンガーかもしれないと思います。これらの能力を実際にどのように使用してファクタリングするのでしょうか？Shorのアルゴリズムに関するウィキペディアでその答えを見つけてください。

まず第一に、Shorのアルゴリズムを使用して、量子コンピューターで（「ユニタリー」量子ゲートを使用して）ファクタリングを行うことができます。

高度な数学や物理学の高度な知識を必要としない説明は、スコットアーロンソンによる「Shor、I'll do it。」というタイトルのブログ投稿です。

彼のアイデアの簡単な要約は次のとおりです。

$\mathbb{R}^2$

$\rho$

したがって、奇妙な量子時計は、効率的なファクタリングに役立ちます！