すべての量子ゲートが単一でなければならない場合、測定はどうですか？

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すべての量子演算は可逆性を可能にするために単一でなければなりませんが、測定はどうですか？測定は行列として表すことができ、その行列は量子ビットに適用されるため、量子ゲートの動作と同等に思えます。それは完全に可逆的ではありません。非単一ゲートが許可される可能性がある状況はありますか？

— ヘザー
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ユニタリー演算は、量子演算の特別な場合にすぎません。これは、密度演算子を密度演算子にマッピングする線形の完全に正のマップ（「チャネル」）です。これは、チャネルのクラウス・表現で明らかになる

Φ （ ρ ） = \sum_{私 = 1}^{n} K_{私} ρ K_{私}^{†} 、

$\Phi(\rho)=\sum_{i=1}^n K_i \rho K_i^\dagger,$ いわゆるクラウス演算子

K_{i}

$K_i$ 果たす

\sum_{i = 1}^{n} K_{i}^{†} K_{i} \leq I

$\sum_{i=1}^n K_i^\dagger K_i\leq \mathbb{I}$ （表記）。多くの場合、以前の不等式の等式が成り立つトレース保存量子操作のみを考慮します。さらにクラウス演算子が1つしかない場合（したがって

n = 1

$n=1$ ）、量子演算はユニタリであることがわかります。

ただし、量子ゲートは、特定の時間のハミルトニアンの動作によって実装されるため、ユニタリです。これにより、シュレディンガー方程式に従ってユニタリ時間進化が得られます。

— M.スターン
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+1量子力学（量子情報だけでなく）に興味がある人は誰でも、例えばニールセンやチュアンの量子操作について知っておくべきです。（Stinespringの拡張に関するWikipediaページは技術的すぎるので）言及する価値があると思います。すべての有限次元量子演算は、より大きなヒルベルト空間でのサブユニットへの制限が続く（部分トレースによる）ユニタリー演算と数学的に同等です。

— ニンナットダンニアム

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短い答え

量子演算は単一である必要はありません。実際、多くの量子アルゴリズムとプロトコルは非統一性を利用しています。

ロングアンサー

測定は、おそらく「測定」は、デコヒーレンス操作後に得られた確率分布からのサンプリングと同等であるという意味で、アルゴリズムの基本的な構成要素（ある非ユニタリ遷移の最も明白な例である）。 $\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

より一般的には、確率的ステップを含む量子アルゴリズムには、非ユニタリ演算が必要です。頭に浮かぶ注目すべき例は、線形連立方程式を解くためのHHL09のアルゴリズムです（0811.3171を参照）。このアルゴリズムの重要なステップはマッピングです、どこ、いくつかの演算子の固有ベクトルです。このマッピングは必然的に確率的であり、したがって非ユニタリです。 $|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$ $|\lambda_j\rangle$

（古典的な）フィードフォワードを使用するアルゴリズムまたはプロトコルも、非ユニタリ操作を使用しています。これは一方向量子計算プロトコル全体です（名前が示すように、非可逆操作が必要です）。

単一光子を用いた光量子計算の最も注目すべきスキームは、測定と、場合によっては異なる光子の状態をもつれさせるための事後選択が必要です。たとえば、KLMプロトコルは確率的ゲートを生成するため、少なくとも部分的に不可逆的です。このトピックに関する素晴らしいレビューはquant-ph / 0512071です。

散逸に起因する量子状態工学（1402.0529またはsrep10656など）により、直感的でない例が提供されます。これらのプロトコルでは、オープンマップの散逸型ダイナミックを使用し、システムの長時間の定常状態が望ましい状態になるように、状態と環境の相互作用を設計します。

— glS
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量子コンピューティングから物理学に話題を移すリスクがあるので、このトピックの関連するサブ質問と思われるものに答え、それを使用して量子コンピューティングのユニタリーゲートの議論を知らせます。

ここでの質問は、なぜ量子ゲートに統一性が必要なのかということです。

それほど具体的ではない答えは上記のとおりであり、「可逆性」を与えます。または物理学者がしばしばそれについて話すように、システムの一種の対称性です。私は今、量子力学でコースを取っている、と一体のゲートはその過程で巻き起こっ方法は、物理的に変換していたいという欲求によって動機づけられた：対称としてその行為。これは、変換の2つの条件を課し。 $\hat{U}$ $\hat{U}$

変換は状態に対して線形に作用する必要があります（これがマトリックス表現を提供するものです）。
変換では、確率、より具体的には内積を保存する必要があります。これは、以下を定義すると：

| ψ^{'} ⟩ = うん | ψ ⟩ 、 | ϕ^{'} ⟩ = うん | ϕ ⟩

$|\psi '\rangle = U |\psi\rangle, |\phi'\rangle = U |\phi\rangle$

その内積手段の保存。（詳細は、博士バンRaamsdonkのノートを参照して、この第2の仕様から、ユニタリ性を導出することができるここに）。 $\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

したがって、これは、物事を「可逆」に保つ操作が単一でなければならない理由の質問に答えます。

なぜ測定自体がユニタリではないのかという問題は、量子計算により関連しています。測定値は、基準に基づいた投影です。本質的には、1つ以上の基底状態を状態自体として「応答」する必要があります。また、測定に対する「答え」と一致する方法で状態を残しますが、状態が開始した基礎となる確率とは一致しません。したがって、演算は変換仕様1を満たしますが、仕様2を確実に満たしません。すべての行列が等しく作成されるわけではありません。 $U$

物事を量子計算に戻すには、測定値が破壊的で射影的であるという事実（つまり、同じ状態の反復測定によってのみ重ね合わせを再構築でき、すべての測定値が0/1の答えしか返さない）は、量子コンピューティングと通常のコンピューティングの微妙な分離（そしてそれを突き止めるのが難しい理由の一部）。ヒルベルト空間のサイズが大きすぎて、状態の重ね合わせをすべて利用できるため、量子コンピューティングの方が強力であると思われるかもしれません。しかし、その情報を抽出する能力は非常に限られています。

私が理解している限り、これは、情報を保存するために、キュービットは通常のビットと同じくらい良いだけであり、良くないことを示しています。しかし、基礎となる線形代数構造のために、情報がどのように取り引きされるかという点で、量子計算では賢くなります。

— エミリー・タイハースト
ソース

1

最後の段落は少し不可解です。ここで「滑りやすい」分離とはどういう意味ですか？また、測定値が破壊的であるという事実がそのような分離について何かを暗示していることも明らかではありません。これらの点を明確にできますか？

— -glS

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@glS、良い点、それは貧弱な言葉でした。これは役立ちますか？ヒルベルト空間サイズだけが量子計算を強力にするアプリオリではないというだけで、特に深いことを言っているとは思わない（そして、それは私たちに情報記憶の利点を与えない）

— エミリータイハースト

8

ここにはいくつかの誤解がありますが、それらのほとんどは量子力学の純粋な状態形式にのみさらされていることに起因しているので、それらを一つずつ説明しましょう。

すべての量子演算は可逆性を可能にするために単一でなければなりませんが、測定はどうですか？

これは誤りです。一般に、量子システムの状態は、ヒルベルト空間ベクトルだけでなく、密度行列ユニットトレース、ヒルベルト空間作用する正の半正定演算子、すなわち、、そして $\mathcal{H}$ $-$ $\mathcal{H}$ $\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ $Tr(\rho) = 1$ 純粋な状態ベクトルはヒルベルト空間におけるベクトルではなく、あること（注複素射影空間内の光線、キュービットのためのヒルベルト空間へのこの量は、あるはなく、 $\rho \geq 0$ $\mathbb{C}P^1$ $\mathbb{C}^2$ ）。密度行列は、量子状態の統計集団を記述するために使用されます。

密度行列が呼び出され、純粋な場合と混合した場合。我々は、以来、（関与統計的不確実性はありません、です）純粋な状態密度行列を扱っているたら、、密度行列が実際に投影演算子と1を見つけることができますように。 $\rho^2 = \rho$ $\rho^2 < \rho$ $\rho^2 = \rho$ $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ $\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

最も一般的な量子動作はCP-マップ（完全にポジティブマップ）であり、すなわち、よう場合（、これらがCPTP（完全に正と呼ばれるトレース保存）マップまたはA $\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Φ (ρ ） = \sum_{私} K_{私} ρ K_{私}^{†}; \sum_{私} K_{私}^{†} K_{私} \leq 私

$\Phi(\rho) = \sum_i K_i \rho K_i^\dagger; \sum_i K_i^\dagger K_i \leq \mathbb{I}$

\sum_{i} K_{i}^{†} K_{i} = I

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$ 量子チャネル）

はクラウス演算子と呼ばれています。

{K_{i}}

$\{K_i\}$

さて、OPの主張では、すべての量子演算は可逆性を可能にするために統一されているということです。これは事実ではありません。量子力学における時間進化演算子（）のユニタリティー（閉じたシステムの量子進化の場合）は、シュレディンガー方程式の結果です。 $e^{-iHt/\hbar}$

しかし、密度行列を検討する場合、最も一般的な進化はCPマップ（またはトレースを保持するための閉じたシステムのCPTP、したがって確率）です。

非単一ゲートが許可される可能性がある状況はありますか？

はい。頭に浮かぶ重要な例は、クラウス演算子（ユニタリではない）がシステムの進化の「ゲート」であるオープン量子システムです。

クラウス演算子が1つしかない場合、あることに注意してください。しかし、は1つしかないため、またははユニタリです。以下のようなシステムが進化だから（あなたが前に見たかもしれないこと、標準の進化です）。ただし、一般に、クラウス演算子がいくつか存在するため、進化は単一ではありません。 $\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$ $i$ $K^\dagger K = \mathbb{I}$ $K$ $\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$

最後のポイントに来る：

測定は行列として表すことができ、その行列は量子ビットに適用されるため、量子ゲートの動作と同等に思えます。それは完全に可逆的ではありません。

$\{M_{i}\}$ $\mathcal{H}$ $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$

ρ \to \frac{E_{私} ρ E_{私}^{†}}{Tr （ E_{私} ρ E_{私}^{†} ）} 、 どこで M_{私} = E_{私}^{†} E_{私} 。

$\rho \rightarrow \frac{E_i \rho E_i^\dagger}{\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger)}, \text{ where } M_i = E_i^\dagger E_i.$

$\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ $M_i$ $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ $p_i$

編集1：あなたも興味があるかもしれないStinespring拡張定理あなたに大きなヒルベルト空間上のCPTPマップと一体の操作の間に同型を与える（参照（tensored）ヒルベルト空間をトレース部分に続いて1、2）。

— keisuke.akira
ソース

5

測定のアイデアについて、他の答えを補足する小さなビットを追加します。

通常、測定は量子力学の仮定として行われます。通常、ヒルベルト空間に関するいくつかの先行する仮説がありますが、それに続く

$A$ $\hat{A}$ $\mathcal{H}$
$A$ $\psi$ $a_n$ $\frac{{\hat{P}}_{n} | ψ ⟩}{‖ {\hat{P}}_{n} | ψ ⟩ ‖} 、$ $\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$ $\hat{P}_n$ $a_n$

$\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ $\hat{P}^2=\hat{P}$ $1$ $0$ $\hat{P}_n$ $1,0$ $a_n$ $|\psi\rangle$

— におい
ソース

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測定も単一の操作であるため、表示されません。測定は、システムだけでなくその環境にも作用する複雑な（量子）操作に相当します。すべてを量子システム（環境を含む）としてモデル化する場合、ユニタリ操作がずっと行われます。

ただし、通常、環境に対する正確なアクションがわからず、通常は気にしないため、これにはほとんど意味がありません。システムのみを考慮した場合、結果はよく知られた波動関数の崩壊であり、これは実際には非ユニタリ操作です。

— ピラミッド
ソース

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量子状態は、2つの方法で変化します。1。量子的、2。古典的。

量子的に行われるすべての状態変化は、単一です。すべての量子ゲート、量子エラーなどは、量子の変化です。
古典的な変化が単一であるという義務はありません。例えば、測定は古典的な変化です。

さらに多くの理由、それが測定されると量子状態が「乱れた」と言われる理由。

— alphaQuant
ソース

1

なぜエラーは「量子」なのでしょうか？

— ノーバートシュー

@NorbertSchuch：いくつかのエラーは、このユーザーの言語では古典と見なすことができる状態を「測定する」環境の形で発生する可能性がありますが、他のエラーはブロッホ球での回転/変換の形で発生する可能性があります古典的には理にかなっています。デコヒーレンスを正確にモデル化する場合は、完全な量子ダイナミクスを実行する必要があります（理想的には非マルコフおよび非摂動ですが、マルコフのマスター方程式も量子です）。

— user1271772

σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}

$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$

より正確には、QECCが処理するエラー。

— alphaQuant

1

「量子」と「古典的」の意味がわからないのではないでしょうか。CPマップはどのような資格がありますか？

— ノルベルトシュー