量子コンピューターが指数関数的な利点を提供することが知られている問題はありますか？

量子コンピューターは、少なくともいくつかのタスクで古典的なデバイスを上回ることができると一般に信じられ主張されています。

量子コンピューターが古典的なデバイスを上回る問題で最もよく引用される例の1つはですが、が古典的なコンピューターでも効率的に解けるかどうかもません（であるかどうか）。$\text{Factoring}$$\text{Factoring}$$\text{Factoring}\in \text{P}$

データベース検索など、量子コンピューターが利点を提供することが知られている他の一般的に引用されている問題については、高速化は多項式のみです。

量子コンピューターが指数関数的な優位性を提供することを示すことができる問題の例はありますか（強力な計算複雑性の仮定の下で証明または証明されます）？

関数仮定以下の好奇心が強い性質を持っていますが存在するのを∈ { 0 、1 } Nように、F （X ）= F （Y ）場合に限り、X + Y = Sを。場合S = 0が唯一の解決策であり、この手段fが 1対1です。そうでない場合はゼロ以外のあるSように、F （X $f\colon {\mathbb F_2}^n \to {\mathbb F_2}^n$$s \in \{0,1\}^n$$f(x) = f(y)$$x + y = s$$s = 0$$f$$s$すべての xに対して2 = 0であるため、 fが2対1であることを意味します。$f(x) = f(x + s)$$x$$2 = 0$$f$

各オプション（1-toの場合、古典的なコンピューターまたは量子コンピューターで、この特性を満たす一様ランダム1対1関数と一様ランダム2対1関数を区別する、所定の成功確率に対するコストはいくらですか？ -1または2対1）の確率は等しいですか？

すなわち、私は密かにコインをひっくり返します。頭を取得する場合、均一なランダム1対1関数ブラックボックス（古典的または量子、それぞれ）回路を渡します。 -1関数F。私が頭か尾かを判断する成功確率pを得るためにいくら支払う必要がありますか？$f$$f$$p$

これは、サイモンのアルゴリズムのシナリオです。これは、無意味な暗号解読に難解なアプリケーションがあり、^*複雑さのクラスBQPおよびBPPを研究する初期の手段であり、Shorのアルゴリズムの初期のインスピレーションでした。

サイモンが提示量子アルゴリズム（§3.1、P 7）そのコスト量子ビットと予想O （N ⋅ T F（N ）+ G （N ））の成功の1であり、ここで周辺確率時間Tのfは（N ）を計算するための時間であり、重畳の値Fを大きさの入力にN、どこG （nは）ある時間が解決するために$O(n + |f|)$$O(n \cdot T_f(n) + G(n))$$T_f(n)$$f$$n$$G(n)$F 2の n × n連立一次方程式。$n \times n$$\mathbb F_2$

サイモンはさらに、2 n / 4以下の個別の離散値でfを評価する古典的なアルゴリズムでは、一様なランダム推測よりも2 − n / 2よりも有利なコインを推測できないという証明（定理3.1、p。9）をスケッチしました。$f$$2^{n/4}$$2^{-n/2}$

ある意味では、これはあなたの質問に肯定的に答えます：入力の量子重畳で線形関数のランダム関数評価を必要とする量子計算は、離散関数でランダム関数の指数関数評価を必要とする古典的な計算よりもはるかに優れた成功確率を達成できます入力、入力のサイズ。しかし、別の意味では、すべての特定の関数fに対して検索を計算するより高速な方法がある可能性があるため、質問にまったく答えません。$f$

ドイツ-Jozsaアルゴリズムは、読者の課題として残されているの詳細を考え出す異なる複雑クラス、PおよびEQPを研究するためのわずかに異なる人工的な問題のための同様の実例としての役割を果たす。

_{^*サイモンは暗号解読には無意味です架空のハードウェアでバカの鍵を破る、これがこれらすべての攻撃の仕組みです。例外：これによりホワイトボックス暗号化が破られる可能性がありますが、従来の敵に対するホワイトボックス暗号化のセキュリティストーリーは有望ではありません。}

これが厳密にあなたが探しているものかどうかはわかりません。そして、これを「指数関数的」とみなすかどうかはわかりません（私はコンピューター科学者でもないので、アルゴリズム分析を行う能力は多かれ少なかれ存在しません...）、しかしBravyi et。alは、量子並列デバイス上でより少ないリソースを使用する可能性がある「2D隠れ線形関数問題」のクラスを提示しました。

論文はこちらのarxivにありますが、ここに簡単な要約があります。量子的な利点は並列回路の深さにあるため、スレッドの数によって問題を境界のあるファンインに分割できます。この問題には行列Aと入力ベクトルbが与えられ、二次形式qとその形式の特別な部分空間を定義できます。「隠された線形関数問題」の目標は、特別な部分空間でその二次関数の線形化を見つけることです。$N\times N$$A$$b$$q$

古典確率的回路は〜に拘束されたあなたの計算は確率で成功したい場合は、深さ> 7 / 8は、（おそらくそれは、少なくとも、この確率で成功したいです）。量子回路は一定の深さでそれを行うことができるので、それは大きな改善です。$\log{N}$$>7/8$

証明は本質的に、古典的な回路ではシミュレートするのが難しい特定のグラフ状態に相当し、このサブ結果はわずかに早く証明されました。それから、論文の残りの部分は、より大きなクラスの問題がこの困難な問題を含んでいることを示しています。

古典的なコンピューターで効率的に解決できる決定問題の複雑さのクラスは、BPPと呼ばれます（または、ランダム性を許可しない場合はPですが、とにかく等しいと思われます）。量子コンピューターで効率的に解ける問題のクラスはBQPと呼ばれます。量子コンピューターが指数関数的な高速化を提供する問題が存在する場合、これはBPP $\neq$ BQPを意味します。ただし、BQP対BPPの質問は、理論的なコンピューターサイエンスの主要な未解決の質問であるため、そのような問題の存在は証明されていません（そして、見つかった場合は、あらゆる種類の賞を必ず獲得します）。

一方、他の回答が言及しているように、サイモンのアルゴリズムのように、$\textbf{BPP}^O \neq \textbf{BQP}^O$であることがわかっているブラックボックス（「オラクル」）問題があります。これは、証拠ではありませんが、実世界でBPP $\neq$ BQPであるという証拠を提供します。

私は正式な証明を提供することはできませんが、量子システムの（時間的進化）のシミュレーションはそのような場合であると考えられています。多項式時間で簡単にそれを行います。

このような量子シミュレーターのアイデア（ウィキペディアの記事も参照）は、実際に量子コンピューターが最初に提案された方法です。