ユニタリ

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ユニバーサルゲートセット（CNOTゲートや単一キュービットユニタリなど）を使用してユニタリ回路分解がある $U$ とします。同じユニバーサルゲートセットを使用して、対応する制御されたユニタリ回路を書き留める直接的な方法はあり $C_U$ ますか？

たとえば、回路として取ります $U=i Y = H X H X$ 。

$X$ ゲートを $C_X$ （CNOT）ゲートに置き換えてを取得でき $C_U$ ます。

これは、制御キュービットが状態にある場合に機能しますターゲットにアクションがあるのためながら、そのための回路適用。異なる場合、特に複数のキュービットに作用する場合、そのような回路を考えるのは面倒かもしれません。回路得るためにレシピがあるビルドする方法を知っていることを考えると？ $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M.スターン
ソース

任意の1キュービットUからCUを構築する方法を尋ねていますか？これを行う方法はN＆Cの第4章にあります（たとえば、前版の図4.6を参照）。これは基本的に、示した分解の一般化です

— glS

@glSああすごい、私はそれを知らなかった。私の例のように見えます。それがどのようにフェーズ

実装するかを見るのは良いことです。しかし、彼らはより多くのターゲットキュービットへの一般化について議論していないようですか？

α

$\alpha$

— M.スターン

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質問は完全に道を尋ねるためにという意味で、明確に定義されていない可能性の計算の分解からの、あなたが使用して喜んでいることをゲートのセットを指定する必要があります。実際、 -qubit ゲートはおよびsingle-qubit演算を使用して正確に分解できることが知られているため、質問に対する単純な答えは次のようになります：single-qubitおよびを使用してを分解するだけです。 $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

所与：質問の異なる解釈は以下の通りである、缶I計算単一量子ビット操作のセットを使用し、 S ない制御キュービットに、及び最初の量子ビットである制御とS？これは、Nielsen＆Chuangの第4章にある結果を一般化して行うことができます。 $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

してみましょう単一量子ビットゲートすること。それは、その証明できる常にように書くことができる。、パウリXゲートであり、そして及び単一量子ビット操作がされるように、（証拠についてはN＆Cをご覧ください）。その次の $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ ここで、位相ゲートは、第一の量子ビットに印加され、れている適用され2番目のキュービットに。これは、最初のキュービットが、その後、

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ がアイデンティティになり、2番目のキュービットにはオペレーション

、それがアイデンティティを与えます。一方、最初のキュービットが

、次いで第2のレールの上に次のものが

（互いに位相で）等しく、

定義することによっては

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

上記の分解を使用して、一般的なキュービットユニタリーゲートのを計算する単純な方法を見つけることができます。主観察はならということであるゲートの任意のセットのために、 $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$ しかし、

-qubit

は、CNOTおよび単一キュービット演算の観点から分解できることもわかっています。したがって、

はCCNOTおよび

操作のシーケンスです。ここで、CCNOTは、他の2つのキュービットに条件付けられたキュービットに適用される

ゲートです

、および

、いくつかの量子ビット上の単一量子ビット演算です。しかし、ここでも、CCNOT操作（Toffoliとも呼ばれます）は、N＆Cの図4.9に示すように分解でき、

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ 回答の最初の部分に示すように分解されます。

この方法は、一般的な分解可能ユニタリゲート-qubit のみ使用と単一量子ビットゲート。その後、さらに進んでこれを一般化し、複数の制御キュービットの場合の分解を見つけることができます。このために必要なのは、Toffoliゲートを分解する方法だけです。これは、N＆Cの図4.9にもあります。 $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
ソース

それが私が探していたものだと思います。念のため：既知の分解

に

および単一キュービットゲートが含まれているとします。次に、単一キュービットゲートの場合、

を

に置き換えます。これは、N＆Cの説明に従って構築されます。また、

はトフォリゲートに置き換えられます（これも分解される可能性があります）。正しい？

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

— M.スターン

@ M.Sternほぼほぼ。場合

含ま

（より正確になるであろう

、演技の間

番目と

と、番目の量子ビット

その後の等価ゲート）、

はすでに Toffoliゲートであり、1 番目と

番目のキュービットを制御として、

番目のキュービットをターゲットとして使用しています。したがって、既知の分解

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

— glS

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これはあなたの質問に完全には答えないかもしれませんが、私はそれが何らかの思考の方向を提供するかもしれないと思います。ここに2つの重要な事実があります：

任意のユニタリー行列、制御された非量子ビットゲートと単一キュービットゲート^1の有限シーケンスにより、量子ビットの量子コンピューターで実現できます。 $2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
が、、を満たすユニタリ行列であると仮定します。次に、制御されたゲート²を実装するには、6つの基本ゲートが必要で十分です。 $U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

最初の点が与えられれば、2番目のケースを一般的なケースに拡張することが可能になるはずですが、明示的にそれを行う論文は見つかりませんでした。 $n\times n$

1 量子計算の基本ゲート-A。Barenco（オックスフォード）、CH Bennett（IBM）、R。Cleve（カルガリー）、DP DiVincenzo（IBM）、N。Margolus（MIT）、P。Shor（AT＆T）、T。Sleator（NYU）、J。Smolin（UCLA））、H。ワインフルター（インスブルック）

2 制御されたユニタリーゲートの最適な実現-Guang Song、Andreas Klappenecker（テキサスA＆M大学）

— サンチャヤン・ドゥッタ
ソース