量子ゲートの普遍的なセット(CNOT、H、Z、X、およびπ/ 8)の「普遍性」の数学的な正当化とは何ですか?


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、この答えは私がCNOT、H、X、Zとすることを述べたゲートが近い任意の単一の量子ゲートを複製する任意に取得することができますゲートの十分な数で与えられたゲートの普遍的なセットを形成する(私はこれを知っているようになりましたUmesh Vazirani教授のEdX講義からの事実)。しかし、これには数学的な正当性がありますか?あるはずです!関連する論文を検索しようとしましたが、あまり見つけることができませんでした。π/8

回答:


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あなたが言及する答えは、これらのゲートの普遍性の証拠を含んでいるマイケル・ニールセンとIsaac Chuangの本、Quantum Computation and Quantum Information(Cambridge University Press)を参照しています。(私の2000年版では、これは194ページで見つけることができます。)重要な洞察は、ゲート(またはπ / 8ゲート)とHTπ/8Hゲートに、Bloch球上で2つの異なる回転を生成することです。不合理なの倍数。これにより、TゲートとHゲートの組み合わせがブロッホ球の表面を密に埋めることができるため、1キュービットのユニタリー演算子に近似できます。2πTH

これが効率的に実行できることは、Solovay-Kitaevの定理によって示されます。ここで、「効率的に」とは、多項式を意味します。ここで、ϵは目的の精度です。これは、Nielsen and Chuangの本(2000年版の付録3)でも証明されています。明示的な構成はhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030にありますlog(1/ϵ)ϵ

CNOTゲートを組み合わせると、Barenco et al。が示すように、任意のマルチキュービットユニタリを近似できます物理学で。Rev. A 52 3457(1995)。(このペーパーのプレプリントはhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016で見つけることができます。)これはNielsenとChuang(2000年版の191ページ)でも説明されています。


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Giles Selingerで証明されたKliuchnikov、Maslov、Moscaを使用すると、さらに強力な結果を得ることができます。
アフサン

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Xも必要ありません。C N O TH、およびT = π / 8で十分です。ZX
CNOTHT=π/8

HT
CNOTϵ>0O(log2(1/ϵ))

ϵ=0π/2a+ib2n+c+id2n+1/2、全ての変数は整数です。驚くべきことに、この正確な合成には最大1つの補助キュービットが必要です。

{CCNOT,H} D(θ)


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ただし、CCNOT + Hは異なる意味で普遍的です。計算的に普遍的ですが、ゲートを実現することはできません。
ノーバートシュー

ϵ>0ϵ>0

いや。明らかな理由により、複雑な(=非実)係数を持つゲートを実現することはできません。これは計算的に普遍的です。つまり、任意のqを実行できます。しかし、それは前述のゲートを1対1で実装するのではなく、いくつかの同等の実現によって行われます。したがって、ユニタリを実現したい場合(これが問題のポイントのようです)、それは普遍的なゲートセットではありません
ノーベルトシュー

@NorbertSchuch:量子計算の例は、複雑なユニタリのシミュレーションです。したがって、CCNOT + Hで任意のqを実行できる場合。計算、ユニタリのシミュレーションに勝手に近づくことはできませんか?
user1271772

CCNOTとHの両方には、実際のエントリのみがあります。複雑なエントリのあるゲートを取得する方法はありません。---より一般的には、「少なくとも」3つの「シミュレーション」の概念があります。ユニタリを取得する、量子コンピューターの測定統計を取得する、またはBQP問題を解く。CCNOT + Hは、2番目(および3番目)の意味では普遍的ですが、最初の意味ではそうではありません。
ノーベルトシュー
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