量子ゲートの普遍的なセット（CNOT、H、Z、X、およびπ/ 8）の「普遍性」の数学的な正当化とは何ですか？

で、この答えは私がCNOT、H、X、Zとすることを述べたゲートが近い任意の単一の量子ゲートを複製する任意に取得することができますゲートの十分な数で与えられたゲートの普遍的なセットを形成する（私はこれを知っているようになりましたUmesh Vazirani教授のEdX講義からの事実）。しかし、これには数学的な正当性がありますか？あるはずです！関連する論文を検索しようとしましたが、あまり見つけることができませんでした。$\pi/8$

あなたが言及する答えは、これらのゲートの普遍性の証拠を含んでいるマイケル・ニールセンとIsaac Chuangの本、Quantum Computation and Quantum Information（Cambridge University Press）を参照しています。（私の2000年版では、これは194ページで見つけることができます。）重要な洞察は、ゲート（またはπ / 8ゲート）と$T$$\pi/8$$H$ゲートに、Bloch球上で2つの異なる回転を生成することです。不合理なの倍数。これにより、TゲートとHゲートの組み合わせがブロッホ球の表面を密に埋めることができるため、1キュービットのユニタリー演算子に近似できます。$2\pi$$T$$H$

これが効率的に実行できることは、Solovay-Kitaevの定理によって示されます。ここで、「効率的に」とは、多項式を意味します。ここで、ϵは目的の精度です。これは、Nielsen and Chuangの本（2000年版の付録3）でも証明されています。明示的な構成はhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/0505030にあります。$\log(1/\epsilon)$$\epsilon$

CNOTゲートを組み合わせると、Barenco et al。が示すように、任意のマルチキュービットユニタリを近似できます。物理学で。Rev. A 52 3457（1995）。（このペーパーのプレプリントはhttps://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016で見つけることができます。）これはNielsenとChuang（2000年版の191ページ）でも説明されています。

とXも必要ありません。C N O T、H、およびT = π / 8で十分です。$Z$$X$
$\rm{CNOT}$$H$$T=\pi/8$

$H$$T$
$\rm{CNOT}$$\epsilon>0$$\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

$\epsilon=0$$\pi/2$$\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$、全ての変数は整数です。驚くべきことに、この正確な合成には最大1つの補助キュービットが必要です。

$\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$