複数のキュービット状態をコンパクトに表現する方法は？

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量子計算が可能な量子デバイスへのアクセスは依然として非常に限られているため、古典的なコンピューターで量子計算をシミュレートすることは興味深いことです。キュービットの状態をベクトルとして表すには要素が必要です。これにより、このようなシミュレーションで考慮できるキュービットの数が大幅に制限されます。 $n$ $2^n$

単純なベクトル表現よりもメモリや計算能力が少ないという意味で、よりコンパクトな表現¹を使用できますか？どのように機能しますか？

実装は簡単ですが、ベクトル表現にスパース性や冗長性が見られる状態では、ベクトル表現が無駄になることは明らかです。具体的な例として、3キュービット状態考えます。それは持っている要素を、彼らは唯一の前提と要素のほとんどがあることで、可能な値を。もちろん、量子計算をシミュレートするのに役立つためには、ゲートの表現方法とキュービットに対するゲートの動作も考慮する必要があります。これらについての何かを含めることは歓迎されますが、キュービットについても聞いていただければ幸いです。 $(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$ $2^3$ $3$ $0$

_{1.このような表現を利用/提示する可能性のあるソフトウェア、ライブラリ、記事ではなく、表現について尋ねていることに注意してください。表現を提示して説明する場合、既に使用されている場所について言及することは大歓迎です。}

quantum-state simulation

— キロ
ソース

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状態をコンパクトに表すには多くの方法がありますが、その有用性はコンテキストに強く依存します。

まず最初に、どの状態も同じ状態のより効率的な表現にマッピングできるプロシージャを作成できないことに注意することが重要です（2ビットを忠実に圧縮することが明らかに不可能な理由と同じ理由で）文字列に依存しないマッピングを持つ1ビット文字列としての文字列）。

ただし、いくつかの仮定を立て始めるとすぐに、特定のコンテキストで状態を表すより効率的な方法を見つけることができます。これを行う方法は多数ありますので、思い浮かぶいくつかの例を挙げます。

すでにket状態の標準ベクトル表現は、「圧縮された表現」と考えることができます。これは、状態が純粋であるという仮定の下で機能します。実際、あなたが必要の任意の（一般に混合）を表現する自由度実 -qubit状態を、のみ純粋なものを表現します。 $4^n-1$ $n$ $2^{n+1}-2$
状態がほぼ純粋であると仮定する場合、つまり、が何らかの表現でスパースである（同等に、が低いランクである）場合、再び状態を効率的に特徴付けることができます。以下のための次元システム（SO のために -qubitシステム）、代わり〜使用するのパラメータを、だけ使用して忠実な表現を有することができ、、スパースであります州の（0909.3304を参照 $\rho$ $\rho$ $\rho$ $d$ $d=2^n$ $n$ $d^2$ $\mathcal O(r d \log^2 d)$ $r$ そしてその後に来た作品）。
限られた数にのみ興味がある場合期待値の場合、サイズキュービット状態の圧縮表現を見つけることができます。これが指数関数的な減少になることに注意してください。これは、中に（と思う）に示された定量-PH / 0402095が、中に与えられた導入1801.05721は、物理学者（だけでなく、最適化の方法で提示改善）のためのより多くのアクセス可能であってもよいです。同様の結果の数については、この最後の論文の参考文献を参照してください。 $|S|$ $n$ $\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$
状態のもつれが制限されていることがわかっている場合（正確に定義できる意味で）、テンソルネットワークの観点から効率的な表現を見つけることができます（紹介は1708.00006など）。最近では、一部の注目すべきハミルトニアンの基底状態が機械学習にヒントを得たアンサッツを使用して表現できることも示されました（（1606.02318および多くの以下の作品）。（1710.04045）したがって、独自のカテゴリに移動する必要があるかどうかはわかりません。

上記のすべてで、特定の状態をより効率的に表現できますが、システムの進化をシミュレートするには、通常、元の非効率的な表現に戻る必要があります。特定の進化を通じて状態のダイナミクスを効率的に表すには、これを可能にするために進化に関する仮定が必要です。この点に関して頭に浮かぶ唯一の結果は、古典的な（「非量子」ではなく、確立された）ゴッテスマン-クニールの定理です。これにより、クリフォード量子回路を効率的にシミュレートできます。

— glS
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$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$ ここでは、スパース性を使用するのが良いアプローチであるかどうかはわかりません。単一キュービットゲートでさえ、スパース状態を密な状態に簡単に変えることができます。

ただし、Cliffordゲートのみを使用する場合は、安定化形式を使用できます。簡単な要約（記法）：
単一キュービットパウリ群は。つまり、パウリ行列のすべての可能な積（を含む）です。いくつかのキュービットのパウリ群はテンソル積空間、です。状態の安定化安定すべてのオペレータのパウリグループのサブグループである、手段 $G_1=\langle X, Y, Z\rangle$ $\mathbb{I}$ $G_1$ $G_n=G_1^{\otimes n}$ $\ket{\psi}$ $\ket{\psi}$ $s \ket{\psi} = \ket{\psi}$ 。これは特定の（ただし重要な）状態でのみ機能することに注意することが重要です。以下に例を示します。パウリグループの要素に対する制限は必要ではありませんが、一般的です。スタビライザーは、演算子、、...によって生成されます。スタビライザーは状態を一意に定義し、効率的な説明です複素数の代わりにビットを使用できます（は16個の要素があります）。ゲートを適用すると、スタビライザージェネレーターはに従って更新されます $s_1$ $s_2$ $s_n$ $2^n-1$ $4n^2$ $G_1$ $U$ $s_i \to U^\dagger s_i U$ 。パウリ演算子をパウリ演算子にマップするゲートは、クリフォードゲートと呼ばれます。ですから、これらは州の記述を「混乱させない」門です。

グラフの状態は、上記の安定化形式の重要な例です。個の頂点とエッジで構成される（無向の）数学グラフを考えます。各頂点は1つのキュービットに対応します。グラフを示しましょう。グラフの状態は、状態から生成され。ここで、接続された頂点の各ペアに制御位相ゲートを適用することにより。スタビライザーは、 $n$ $V$ $E\subset V\times V$ $G=(V,E)$ $\ket{+}^{\otimes n}$ $\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$ $C_Z$

s_{v} = {バツ}_{v} \prod_{\begin{matrix} w \in V \\ （ v 、 w ） \in E \end{matrix}} Z_{w} 。

$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$

たとえば、2量子ビット状態から始めます。スタビライザーはです。ゲートを適用してを取得します。（状態はであり、ベル状態と同等のローカルユニタリです） $\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$ $\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$ $C_Z$ $\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$ $\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

スタビライザーの形式は、量子誤差補正でも重要な役割を果たします。

— M.スターン
ソース

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単純なベクトル表現よりもメモリや計算能力が少ないという意味で、よりコンパクトな表現を使用できますか？どのように機能しますか？

出典：「複数のキュービット」：

「単一のキュービットを簡単にモデル化できます。50キュビットの量子計算をシミュレートすると、間違いなく既存のスーパーコンピューターの限界が押し上げられます。この計算能力の急速な倍増が、量子ビットが比較的少ない量子コンピューターが、今日、明日、そして一部の計算タスクで最も強力なスーパーコンピューターをはるかに上回る理由です。」

したがって、Ponziスキームを利用したり、Peterを奪ってPaulに支払うことはできません。圧縮は、計算の複雑さを犠牲にしてメモリを節約します。または、より柔軟なスペース（より大きな）での表現は、計算の複雑さを軽減しますが、メモリを犠牲にします。基本的に必要なのは、より高性能なハードウェアまたはよりスマートなアルゴリズムです。

以下にいくつかの方法を示します。