回答:
CultureInfoを使用して月の名前を取得できます。短い月の名前やその他の楽しいものを取得することもできます。
これらを拡張メソッドに入れることをお勧めします。これにより、後で少ないコードを書くことができます。ただし、好きなように実装できます。
拡張メソッドを使用してそれを行う方法の例を次に示します。
using System;
using System.Globalization;
class Program
{
    static void Main()
    {
        Console.WriteLine(DateTime.Now.ToMonthName());
        Console.WriteLine(DateTime.Now.ToShortMonthName());
        Console.Read();
    }
}
static class DateTimeExtensions
{
    public static string ToMonthName(this DateTime dateTime)
    {
        return CultureInfo.CurrentCulture.DateTimeFormat.GetMonthName(dateTime.Month);
    }
    public static string ToShortMonthName(this DateTime dateTime)
    {
        return CultureInfo.CurrentCulture.DateTimeFormat.GetAbbreviatedMonthName(dateTime.Month);
    }
}
お役に立てれば!
InvariantInfo使用できるプロパティがあることも付け加えておきます。そして、私の意見では、以下はこれを行うためのよりシンプルで読みやすい形式です:DateTimeFormatInfo.InvariantInfo.GetAbbreviatedMonthName(...)またはDateTimeFormatInfo.CurrentInfo.GetAbbreviatedMonthName(...)
                    string CurrentMonth = String.Format("{0:MMMM}", DateTime.Now)    private string MonthName(int m)
    {
        string res;
        switch (m)
        {
            case 1:
                res="Ene";
                break;
            case 2:
                res = "Feb";
                break;
            case 3:
                res = "Mar";
                break;
            case 4:
                res = "Abr";
                break;
            case 5:
                res = "May";
                break;
            case 6:
                res = "Jun";
                break;
            case 7:
                res = "Jul";
                break;
            case 8:
                res = "Ago";
                break;
            case 9:
                res = "Sep";
                break;
            case 10:
                res = "Oct";
                break;
            case 11:
                res = "Nov";
                break;
            case 12:
                res = "Dic";
                break;
            default:
                res = "Nulo";
                break;
        }
        return res;
    }