Big-O表記法（「漸近的成長」表記法とも呼ばれます）は、原点付近の一定の要因やものを無視した場合の「外観」の関数です。どのようにスケールするかを説明するために使用します。
基本
「十分に」大きな入力の場合...
f(x) ∈ O(upperbound)f「より速く成長しない」ことを意味しますupperboundf(x) ∈ Ɵ(justlikethis)f「まったく同じように成長する」という意味justlikethisf(x) ∈ Ω(lowerbound)f「成長は遅くない」を意味しますlowerbound
big-O表記では、一定の要素は考慮されません。関数9x²は「まったく同じように成長する」と言われてい10x²ます。また、big-O 漸近記法は非漸近的なもの（「原点に近いもの」または「問題のサイズが小さい場合に何が起こるか」）を考慮しません。関数10x²は「まったく同じように成長する」と言われ10x² - x + 2ます。
なぜ方程式の小さな部分を無視したいのですか？より大きなスケールを考えると、それらは方程式の大部分によって完全に小さくなります。彼らの貢献は小さく、無関係です。（例のセクションを参照してください。）
別の言い方をすると、無限大に行くときの比率がすべてです。にかかる実際の時間をで除算O(...)すると、大きな入力の制限において一定の係数が得られます。直感的にはこれは理にかなっています。一方を乗算してもう一方を取得できる場合、関数は互いに「スケーリング」します。それは私たちが言うとき...
actualAlgorithmTime(N) ∈ O(bound(N))
e.g. "time to mergesort N elements
is O(N log(N))"
...これは、「十分に大きい」問題サイズN（原点付近のものを無視する場合）には、次のような定数（たとえば、2.5、完全に構成されている）が存在することを意味します。
actualAlgorithmTime(N) e.g. "mergesort_duration(N) "
────────────────────── < constant ───────────────────── < 2.5
bound(N) N log(N)
定数には多くの選択肢があります。多くの場合、「最良の」選択はアルゴリズムの「定数係数」として知られていますが、最大でない項を無視するように、しばしば無視します（通常、重要ではない理由については、定数係数のセクションを参照してください）。また、上記の方程式を「最悪のシナリオではN*log(N)、2.5倍以内（私たちがあまり気にしない一定の係数）以内で、おおよそよりも悪くなることはありません」と言って、限界と考えることもできます。 。
O(...)ワーストケースの振る舞いを気にすることが多いため、一般的にはが最も便利です。f(x)がプロセッサまたはメモリの使用量のような「悪い」ものを表す場合、「f(x) ∈ O(upperbound)」はupperbound、プロセッサ/メモリの使用量の最悪のシナリオであることを意味します。
用途
純粋に数学的構造として、big-O表記は処理時間とメモリの話に限定されません。これを使用して、以下のような、スケーリングが意味のあるあらゆるものの漸近性について議論できます。
Nパーティーの人々の間で可能なハンドシェイクの数（Ɵ(N²)特にN(N-1)/2、重要なのは、それが「のようにスケールする」ことですN²）- 時間の関数としてバイラルマーケティングを見た確率的な予想人数
- CPU、GPU、またはコンピュータークラスターのプロセッシングユニットの数に応じてWebサイトのレイテンシがどのように変化するか
- トランジスタ数、電圧などの関数として、CPUダイでの熱出力のスケーリング方法
- 入力サイズの関数として、アルゴリズムの実行に必要な時間
- 入力サイズの関数として、アルゴリズムを実行するために必要なスペースの量
例
上記のハンドシェイクの例では、部屋にいる全員が他の全員の手を振っています。その例では、#handshakes ∈ Ɵ(N²)。どうして？
少しバックアップしてください：ハンドシェイクの数はちょうどn-choose-2またはN*(N-1)/2（N人はそれぞれN-1人の他の人と握手しますが、これはダブルカウントのハンドシェイクなので2で割ります）：
ただし、非常に多くの人数の場合、線形項Nは小さめであり、比率に実質的に0を提供します（グラフでは、参加者の数が増えるにつれて、ボックス全体に対する対角線上の空のボックスの割合が小さくなります）。したがって、スケーリングの動作はorder N²、またはハンドシェイクの数が「N²のように大きくなる」です。
#handshakes(N)
────────────── ≈ 1/2
N²
これは、グラフの対角線上の空のボックス（N *（N-1）/ 2チェックマーク）がそこにもなかったかのようです（N 2チェックマークは漸近的に）。
（「平易な英語」からの一時的な脱線:)これを自分で証明したい場合は、単純な代数を実行して比率を複数の用語に分割することができます（limつまり、「制限があると見なされている」ことを意味します。それを見たことがない、それは単に「そしてNは本当に本当に大きい」という表記です）：
N²/2 - N/2 (N²)/2 N/2 1/2
lim ────────── = lim ( ────── - ─── ) = lim ─── = 1/2
N→∞ N² N→∞ N² N² N→∞ 1
┕━━━┙
this is 0 in the limit of N→∞:
graph it, or plug in a really large number for N
tl; dr：大きな値の場合、ハンドシェイクの数はx²に非常に似ているため、比率＃handshakes /x²を書き留めると、正確に x²ハンドシェイクが必要ないという事実は表示されません。 10進数で任意の長い間。
たとえば、x = 1millionの場合、比率＃handshakes /x²：0.499999 ...
直感の構築
これにより、次のようなステートメントを作成できます...
「十分な大きさのinputsize = Nの場合、定数係数が何であっても、入力サイズを2倍にすると ...
- ... O（N）（ "線形時間"）アルゴリズムにかかる時間を2倍にします。 "
N →（2N）= 2（N）
- ...私は二重乗（四）時間O（N²）（「次の時間」）アルゴリズムがかかります。」（例：A問題100Xビッグは限り100²= 10000倍を取るよう...多分持続不可能）
N² →（2N）²= 4（N²）
- ... Iダブル乗（8倍速）時間O（N³）（「キュービック時間」）アルゴリズムがかかります。」（例えば、問題100Xを大に限り= 1000000x100³をとるよう...非常に持続不可能）
cN³ →c（2N）³= 8（cN³）
- ... O（log（N））（ "logarithmic time"）アルゴリズムにかかる時間に固定量を追加します。（安い！）
c log（N） →c log（2N）=（c log（2））+（c log（N））=（固定量）+（c log（N））
- ... O（1）（「一定の時間」）アルゴリズムにかかる時間は変更しません。」（最も安い！）
c * 1 → c * 1
- ... O（N log（N））アルゴリズムにかかる時間を「（基本的に）2倍にする」（かなり一般的）
O（N 1.000001）未満であり、基本的に線形と呼んでもかまいません。
- ... O（2 N）（ "指数時間"）アルゴリズムにかかる時間を途方もなく増やします。（問題を1つの単位で増やすだけで、時間は2倍（または3倍など）になります）
2 N →2 2N =（4 N）............別の言い方をすると...... 2 N →2 N + 1 = 2 N 2 1 = 2 2 N
[数学的に傾いている場合は、ネタバレにネタバレすることができます]
（https://stackoverflow.com/a/487292/711085へのクレジット付き）
（技術的には、一定の係数がより難解な例では問題になる可能性がありますが、私は上記のように（たとえば、log（N）で）そうしないように言いました）
これらは、プログラマーと応用コンピューター科学者が参照ポイントとして使用する、成長の大まかな順序です。彼らはいつもこれらを見ています。（つまり、「入力を2倍にすると、O（√N）アルゴリズムは1.414倍遅くなる」と技術的に考えることはできますが、「これは対数よりも悪いが、線形よりも優れている」と考えるのが良いでしょう。）
一定の要因
通常、特定の定数因子が何であるかは関係ありません。これらは関数の成長に影響を与えないためです。たとえば、2つのアルゴリズムはどちらもO(N)完了するのに時間がかかる場合がありますが、一方が他方の2倍遅くなる場合があります。最適化はトリッキーなビジネスであるため、通常、要素が非常に大きくない限り、あまり気にしません（最適化は時期尚早ですか？）。また、より良いbig-Oを持つアルゴリズムを選択するという単なる行為は、しばしば桁違いにパフォーマンスを改善します。
いくつかの漸近的に優れたアルゴリズム（非比較O(N log(log(N)))ソートなど）は、非常に大きな定数係数（例100000*N log(log(N))：）、またはO(N log(log(N)))非表示のように比較的大きなオーバーヘッドがあり+ 100*N、「ビッグデータ」でも使用する価値はほとんどありません。
なぜO（N）があなたにできるベストなのか、つまりなぜデータ構造が必要なのか
O(N)すべてのデータを読み取る必要がある場合、アルゴリズムはある意味で「最良の」アルゴリズムです。読書という行為データの束があるO(N)操作。通常、メモリへのロードはO(N)（ハードウェアサポートがある場合は高速で、すでにデータを読み取っている場合はまったく時間がかかりません）。ただし、すべてのデータ（または他のすべてのデータ）を触ったり、見たりすると、アルゴリズムはO(N)この見回しに時間がかかります。実際のアルゴリズムにどれほど時間がかかるとしてもO(N)、すべてのデータを調べるのにその時間を費やしたためです。
書くこと自体も同じことが言えます。Nのものを出力するすべてのアルゴリズムは、出力が少なくともその長さであるため、N時間かかります（たとえば、N個のトランプのセットを並べ替えて（再配置するために）出力することは階乗です:) O(N!)。
これにより、データ構造の使用が促進されます。データ構造では、データを1回だけ（通常はO(N)時間）読み取るだけでなく、任意の量の前処理（O(N)or O(N log(N))またはO(N²)）を使用して、小さく保つ必要があります。その後、データ構造（挿入/削除など）の変更とデータに対するクエリの実行には、O(1)またはのような非常に短い時間がかかりO(log(N))ます。次に、多数のクエリを作成します。一般に、事前に実行する作業が多いほど、後で実行する必要のある作業は少なくなります。
たとえば、何百万もの道路セグメントの緯度と経度の座標があり、すべての交差点を検索したいとします。
- 単純な方法：道路の交差点の座標があり、近くの道路を調べたい場合は、毎回何百万ものセグメントを調べて、隣接関係を確認する必要があります。
- これを1回だけ実行する必要がある場合、単純な
O(N)作業方法を1回だけ実行する必要はありませんが、何度も実行する場合（この場合は、N各セグメントに対して1回）、O(N²)仕事をする必要がある、または1000000²= 1000000000000操作。良くない（最近のコンピューターは1秒あたり約10億の操作を実行できる）。
- ハッシュテーブル（インスタントルックアップテーブル、ハッシュマップまたはディクショナリとも呼ばれます）と呼ばれる単純な構造を使用する場合、
O(N)時間内にすべてを前処理することで小さなコストを支払います。その後、そのキーで何かを検索するのに平均して一定の時間しかかかりません（この場合、キーは緯度と経度の座標であり、グリッドに丸められます。隣接するグリッドスペースは9つしかなく、絶え間ない）。
- 私たちの仕事は実行不可能なもの
O(N²)から管理可能なものO(N)になり、ハッシュテーブルを作成するためにわずかなコストを支払うだけで済みました。
- アナロジー：この特定のケースでのアナロジーはジグソーパズルです。データのいくつかのプロパティを利用するデータ構造を作成しました。道路セグメントがパズルのピースのようなものである場合、色とパターンを一致させることによってそれらをグループ化します。次に、これを利用して、後で余分な作業を行わないようにします（同じ色のパズルのピースを、他のすべてのパズルのピースと比較するのではなく）。
話の教訓：データ構造により、運用をスピードアップできます。さらに、高度なデータ構造により、驚くほど巧妙な方法で操作を結合、遅延、または無視することもできます。さまざまな問題にはさまざまな類推がありますが、それらはすべて、気になる、または簿記のために人為的に課した構造を利用する方法でデータを編成することを伴います。私たちは事前に作業を行い（基本的に計画と整理）、今や繰り返されるタスクははるかに簡単です！
実用例：コーディング中に成長の順序を視覚化する
漸近記法は、その中心において、プログラミングとはまったく別のものです。漸近表記法は、物事がどのようにスケーリングし、多くの異なる分野で使用できるかを考えるための数学的なフレームワークです。つまり、これは、コーディングに漸近表記を適用する方法です。
基本：サイズAのコレクション内のすべての要素（配列、セット、マップのすべてのキーなど）とやり取りするとき、またはループのA回の反復を実行するとき（サイズAの乗法因子） 。「乗算因子」と言うのはなぜですか？-ループと関数（ほぼ定義上）には乗算の実行時間があるため：反復回数、ループで実行された回数（または関数の場合：呼び出し回数）関数、時間は関数で行われます）。（これは、ループのスキップやループの早期終了など、特別なことをしない場合や、引数に基づいて関数の制御フローを変更する場合に当てはまります。これは、非常に一般的なものです）。
（ここで、xsは一定時間の作業単位、プロセッサーの命令、インタープリターのオペコードなどを表します）
for(i=0; i<A; i++) // A * ...
some O(1) operation // 1
--> A*1 --> O(A) time
visualization:
|<------ A ------->|
1 2 3 4 5 x x ... x
other languages, multiplying orders of growth:
javascript, O(A) time and space
someListOfSizeA.map((x,i) => [x,i])
python, O(rows*cols) time and space
[[r*c for c in range(cols)] for r in range(rows)]
例2：
for every x in listOfSizeA: // A * (...
some O(1) operation // 1
some O(B) operation // B
for every y in listOfSizeC: // C * (...
some O(1) operation // 1))
--> O(A*(1 + B + C))
O(A*(B+C)) (1 is dwarfed)
visualization:
|<------ A ------->|
1 x x x x x x ... x
2 x x x x x x ... x ^
3 x x x x x x ... x |
4 x x x x x x ... x |
5 x x x x x x ... x B <-- A*B
x x x x x x x ... x |
................... |
x x x x x x x ... x v
x x x x x x x ... x ^
x x x x x x x ... x |
x x x x x x x ... x |
x x x x x x x ... x C <-- A*C
x x x x x x x ... x |
................... |
x x x x x x x ... x v
例3：
function nSquaredFunction(n) {
total = 0
for i in 1..n: // N *
for j in 1..n: // N *
total += i*k // 1
return total
}
// O(n^2)
function nCubedFunction(a) {
for i in 1..n: // A *
print(nSquaredFunction(a)) // A^2
}
// O(a^3)
少し複雑なことをしても、何が起こっているのかを視覚的に想像できるかもしれません。
for x in range(A):
for y in range(1..x):
simpleOperation(x*y)
x x x x x x x x x x |
x x x x x x x x x |
x x x x x x x x |
x x x x x x x |
x x x x x x |
x x x x x |
x x x x |
x x x |
x x |
x___________________|
ここで、描くことができる最小の認識可能なアウトラインが重要です。三角形は2次元形状（0.5 A ^ 2）であり、正方形が2次元形状（A ^ 2）であるのと同じです。ここで2の定数因数は2つの間の漸近比に残りますが、すべての因数と同様に無視します...（この手法には、ここでは触れませんが、いくつかの残念なニュアンスがあります。誤解を招く可能性があります。）
もちろん、これはループと関数が悪いことを意味するものではありません。それどころか、これらは現代のプログラミング言語の構成要素であり、私たちはそれらを愛しています。ただし、ループや関数、条件文をデータ（制御フローなど）と共に織り込む方法は、プログラムの時間とスペースの使用を模倣していることがわかります。時間とスペースの使用が問題になる場合は、賢明さに頼り、成長の順序を何らかの形で減らすために、私たちが考慮していなかった簡単なアルゴリズムまたはデータ構造を見つけます。それでも、これらの視覚化手法は（常に機能するとは限りませんが）、最悪の場合の実行時に単純な推測を与える可能性があります。
視覚的に認識できるもう1つの点を次に示します。
<----------------------------- N ----------------------------->
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x
x
これを並べ替えて、O（N）であることがわかります。
<----------------------------- N ----------------------------->
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x|x x x x x x x x|x x x x|x x|x
または、O（N * log（N））の合計時間に対して、データのlog（N）パスを実行する場合があります。
<----------------------------- N ----------------------------->
^ x x x x x x x x x x x x x x x x|x x x x x x x x x x x x x x x x
| x x x x x x x x|x x x x x x x x|x x x x x x x x|x x x x x x x x
lgN x x x x|x x x x|x x x x|x x x x|x x x x|x x x x|x x x x|x x x x
| x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x|x x
v x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x|x
無関係ですが、もう一度言及する価値があります。ハッシュ（たとえば、ディクショナリ/ハッシュテーブルルックアップ）を実行する場合、それはO（1）の要素です。それはかなり速いです。
[myDictionary.has(x) for x in listOfSizeA]
\----- O(1) ------/
--> A*1 --> O(A)
私たちは、このような再帰関数や分割統治アルゴリズムと同様に、非常に複雑な何かを、行う場合は、あなたが使用できるマスター定理を（通常は動作します）、またはばかばかしい例でAkra-Bazzi定理（ほとんど常に動作します）あなたは、ルックアップウィキペディアでのアルゴリズムの実行時間。
しかし、プログラマーはこのように考えません。結局のところ、アルゴリズムの直感はただの自然になってしまうからです。あなたは非効率的な何かをコーディングし始めて、すぐに「私は非常に非効率的な何かをしているのですか？」と考えます。答えが「はい」であり、それが実際に重要であると思われる場合は、一歩下がってさまざまなトリックを考え、処理を高速化できます（ほとんどの場合、答えは「ハッシュテーブルを使用する」、「ツリーを使用する」、非常にまれに、もう少し複雑です）。
償却および平均ケースの複雑さ
「償却」および/または「平均ケース」の概念もあります（これらは異なることに注意してください）。
平均的なケース：これは、関数自体ではなく、関数の期待値にbig-O表記を使用することにすぎません。すべての入力が等しく可能性があると考える通常のケースでは、平均ケースは実行時間の平均にすぎません。たとえば、クイックソートの場合、最悪のケースはO(N^2)一部の本当に悪い入力に対するものですが、平均的なケースが通常ですO(N log(N))（本当に悪い入力は数が非常に少ないため、平均的なケースでは気付かないほど少ないです）。
償却された最悪のケース：一部のデータ構造は、最悪の場合の複雑さが大きくなる可能性がありますが、これらの操作の多くを実行すると、実行する作業の平均量が最悪の場合よりも良くなることが保証されます。たとえば、通常一定のO(1)時間がかかるデータ構造があるとします。ただし、場合O(N)によっては、簿記やガベージコレクションなどを行う必要があるため、「しゃっくり」して1つのランダムな操作に時間がかかることがあります...しかし、しゃっくりが発生しても、Nで再度しゃっくりしないことを約束します。より多くの操作。最悪の場合のコストは依然としてO(N)操作ごとですが、多くの実行での償却コストはO(N)/N=O(1)操作ごと。大きな操作は非常にまれであるため、大量の不定期の作業は、一定の要素として残りの作業と調和すると考えることができます。作品は、それが漸近的に消えるのに十分な数の呼び出しにわたって「償却」されると言います。
償却分析の類推：
あなたは車を運転します。たまに、ガソリンスタンドまで10分間費やしてから、1分間かけてタンクにガスを補充する必要があります。車でどこかに行くたびにこれを行った場合（ガソリンスタンドまで車で10分かかり、数秒でガロンの一部を埋める）、それは非常に非効率的です。しかし、数日おきにタンクを満タンにすると、ガソリンスタンドまでの運転に費やされた11分間は、十分な数のトリップで「償却」されるため、無視して、すべてのトリップがおそらく5％長くなるように見せかけることができます。
平均ケースと償却最悪ケースの比較：
- 平均的なケース：入力についていくつかの仮定を行います。つまり、入力に異なる確率がある場合、出力/ランタイムには異なる確率（平均を取る）があります。通常、入力はすべて同じ確率（一様確率）であると想定しますが、実際の入力が「平均入力」の想定に適合しない場合、平均出力/実行時間の計算は無意味になる可能性があります。ただし、一様にランダムな入力が予想される場合、これは考えるのに役立ちます。
- 償却された最悪のケース：償却された最悪のケースのデータ構造を使用する場合、パフォーマンスは償却された最悪のケースの範囲内であることが保証されます...最終的に（すべてを知っている悪魔によって入力が選択され、ねじ込みます）。通常、これを使用して、予期しない大規模なしゃっくりでパフォーマンスが非常に「途切れる」可能性があるアルゴリズムを分析しますが、時間の経過とともに、他のアルゴリズムと同様に実行されます。（ただし、データ構造に、先延ばしにしたい多くの優れた作業に対する上限がない限り、悪意のある攻撃者は、一度に最大量の先延ばし作業に追いつくように強制する可能性があります。
ただし、攻撃者について合理的に心配している場合は、償却や平均ケースの他に、心配すべき他の多くのアルゴリズム攻撃ベクトルがあります。）
平均ケースと償却の両方は、スケーリングを考慮して設計するための非常に便利なツールです。
（このサブトピックに関心がある場合は、平均ケースと償却分析の違いを参照してください。）
多次元ビッグオー
ほとんどの場合、人々は複数の変数が機能していることを認識していません。たとえば、文字列検索アルゴリズムでは、アルゴリズムに時間がかかる場合がありますO([length of text] + [length of query])。つまり、のような2つの変数では線形O(N+M)です。他のもっと素朴なアルゴリズムは、O([length of text]*[length of query])またはかもしれませんO(N*M)。複数の変数を無視することは、アルゴリズム分析で見られる最も一般的な見落としの1つであり、アルゴリズムを設計するときに不利になることがあります。
一部始終
big-Oがすべてではないことに注意してください。キャッシュを使用して一部のアルゴリズムを大幅に高速化し、それらをキャッシュに気付かなくする、ディスクの代わりにRAMを使用する、並列化を使用する、または事前に作業を行うことでボトルネックを回避する-これらの手法は多くの場合独立している、成長順序とはです「big-O」表記。ただし、並列アルゴリズムのbig-O表記ではコアの数がよく表示されます。
また、プログラムの隠れた制約により、漸近的な振る舞いについてはあまり気にしないかもしれないことにも注意してください。制限された数の値を使用している可能性があります。次に例を示します。
- 5つの要素のようなものを並べ替える場合は、スピーディを使用したくない
O(N log(N))クイックソート。挿入ソートを使用したい場合、これはたまたま小さな入力でうまく機能します。これらの状況は、多くの場合、分割統治アルゴリズムで発生します。このアルゴリズムでは、再帰的な並べ替え、高速フーリエ変換、行列の乗算など、問題をますます小さな副問題に分割します。
- いくつかの隠された事実のためにいくつかの値が効果的に制限されている場合（たとえば、平均的な人間の名前はおそらく40文字で柔らかく制限されており、人間の年齢はおよそ150で柔らかく制限されています）。入力に境界を課して、項を効果的に一定にすることもできます。
実際には、同じまたは類似の漸近的パフォーマンスを持つアルゴリズムの間でも、それらの相対的なメリットは、実際には次のような他の要因によって駆動される可能性がありO(N log(N))ます。実装の容易さなど、パフォーマンスに関する考慮事項。ライブラリが利用可能かどうか、およびライブラリの信頼性と維持管理の程度。
また、プログラムは、500 GHzコンピュータでは2 GHzコンピュータよりも遅く実行されます。実際の1秒あたりではなく、マシンリソース（たとえば、クロックサイクルごと）の観点からスケーリングを考えるため、これをリソース境界の一部とは見なしません。ただし、エミュレーションで実行しているかどうか、コンパイラがコードを最適化しているかどうかなど、パフォーマンスに「密かに」影響を与える可能性のある同様のものがあります。これらにより、一部の基本的な操作に時間がかかる場合があります（相互に関連する場合も）。また、一部の操作を漸近的に（相互に関連する場合も）スピードアップまたはスローダウンすることさえあります。影響は、実装や環境が異なれば、小さくても大きくてもかまいません。言語やマシンを切り替えて、余分な作業を省きますか？それは他の100の理由（必要性、スキル、同僚、プログラマーの生産性、
上記の問題は、使用するプログラミング言語の選択による影響と同様に、一定の要因の一部と見なされることはほとんどありません（そうである必要もありません）。しかし、時には（まれにですが）物事に影響を与える可能性があるため、それらに注意する必要があります。たとえばcpythonの場合、ネイティブの優先度キューの実装は漸近的に最適O(log(N))ではありO(1)ません（挿入またはfind-minの選択ではありません）。別の実装を使用していますか？おそらくそうではありません。Cの実装はおそらくより高速であり、おそらく他の場所にも同様の問題があるでしょう。トレードオフがあります。時には彼らは重要であり、時にはそうではありません。
（編集：「わかりやすい英語」の説明はここで終わります。）
数学の補遺
完全をf(x) ∈ O(g(x))期すために、big-O表記の正確な定義は次のとおりです。つまり、「fはconst * gによって漸近的に上限がある」ことを意味します。xの有限値以下をすべて無視すると、のような定数が存在し|f(x)| ≤ const * |g(x)|ます。（他の記号は次のとおりです：O意味≤、Ω意味≥ と同じです。小文字のバリエーションがあります：o意味<、およびω意味>。）f(x) ∈ Ɵ(g(x))は、両方f(x) ∈ O(g(x))を意味しますf(x) ∈ Ω(g(x))（gの上限と下限）：fのようないくつかの定数が存在しますとの間の「バンド」に常にconst1*g(x)ありconst2*g(x)ます。これは、あなたが作ることができる最も強い漸近的なステートメントであり、おおよそ==。（申し訳ありませんが、明確にするために、絶対値記号の説明をこれまで延期することを選択しました。特に、コンピューターサイエンスのコンテキストで負の値が表示されるのを見たことがないためです。）
人々はしばしばを使用します= O(...)。これはおそらくより正確な「comp-sci」表記であり、使用することは完全に正当です。"f = O（...）"は "f is order ... / f is xxx-bounded by ..."と読み、 "fは漸近性が...であるいくつかの式である"と考えられます。私はより厳密なものを使うように教えられました∈ O(...)。∈「の要素」であることを意味します（以前と同じように読みます）。この特定のケースでは、O(N²){ような要素を含む2 N²、3 N²、1/2 N²、2 N² + log(N)、- N² + N^1.9、...}と無限大であるが、それはまだセットです。
OとΩは対称ではありません（n = O（n²）ですが、n²はO（n）ではありません）が、Ɵは対称であり、（これらの関係はすべて推移的かつ再帰的であるため）thereforeしたがって、対称的で推移的かつ再帰的です、したがって、すべての関数のセットを等価クラスに分割します。同等クラスとは、私たちが同じと考えるもののセットです。つまり、考えられる任意の関数を指定すると、クラスの正規/一意の「漸近的代表」を見つけることができます（一般に制限を設けることで...と思います）。すべての整数をオッズまたは偶数にグループ化できるのと同じように、Ɵを使用してすべての関数をx-ish、log（x）^ 2-ishなどにグループ化できます。基本的に、小さい項を無視します（ただし、それ自体が別のクラスである、より複雑な関数）。
=表記は、より一般的なものであるかもしれないとさえ世界的に有名なコンピュータ科学者の論文で使用されています。さらに、カジュアルな環境では、人々はO(...)彼らが何を意味するかを言うことがよくありƟ(...)ます。一連の事柄Ɵ(exactlyThis)はO(noGreaterThanThis)...のサブセットなので、これは技術的に当てはまります。また、入力も簡単です。;-)
