ここでは簡単な言葉で説明するように最善を尽くしますが、このトピックでは最終的に理解するまでに数か月かかることに注意してください。詳細については、Javaのデータ構造とアルゴリズムの第2章を参照してください。
BigOhを取得するために使用できる機械的な手順はありません。
「クックブック」として、コードの一部からBigOhを取得するには、まず、あるサイズの入力を指定して実行される計算のステップ数を数える数式を作成していることを認識する必要があります。
目的は単純です。コードを実行する必要なく、理論的な観点からアルゴリズムを比較することです。ステップ数が少ないほど、アルゴリズムは高速になります。
たとえば、次のコードがあるとします。
int sum(int* data, int N) {
int result = 0; // 1
for (int i = 0; i < N; i++) { // 2
result += data[i]; // 3
}
return result; // 4
}
この関数は、配列のすべての要素の合計を返します。この関数の計算の複雑さを数える式を作成します。
Number_Of_Steps = f(N)
したがってf(N)、計算ステップの数をカウントする関数があります。関数の入力は、処理する構造のサイズです。これは、この関数が次のように呼び出されることを意味します。
Number_Of_Steps = f(data.length)
パラメータNはdata.length値をます。次に、関数の実際の定義が必要f()です。これはソースコードから行われ、各興味深い行には1から4までの番号が付けられています。
BigOhを計算するには多くの方法があります。この時点から、入力データのサイズに依存しないすべての文は定数を取ると仮定しますC数の計算ステップを実行ます。
関数の個々のステップ数を追加します。ローカル変数宣言もreturnステートメントも、 data配列の。
つまり、1行目と4行目はそれぞれCステップずつ実行され、関数は次のようになります。
f(N) = C + ??? + C
次の部分は、forステートメントの値を定義することです。計算ステップの数を数えていることを思い出してください。つまり、forステートメントの本体が実行されNます。これはC、N時間を追加するのと同じです。
f(N) = C + (C + C + ... + C) + C = C + N * C + C
体を何回か数える機械的な規則はありません forが実行されません。コードが何を行うかを見て数える必要があります。計算を簡略化するために、forステートメントの変数の初期化、条件、増分の部分は無視しています。
実際のBigOhを取得するには、関数の漸近分析が必要です。これはおおよそ次のように行われます：
- すべての定数を取り除く
C。
- から多項式を
f()取得するstandard form。
- 多項式の項を分割し、成長率で並べ替えます。
N近づくときに大きくなるものを維持しinfinityます。
私たちにf()は2つの用語があります：
f(N) = 2 * C * N ^ 0 + 1 * C * N ^ 1
すべてのC定数と冗長部分を取り除く：
f(N) = 1 + N ^ 1
最後の項はf()無限に近づくと大きくなるものなので（limitsについて考える）、これはBigOh引数であり、sum()関数には次のBigOhがあります。
O(N)
いくつかのトリッキーなものを解決するためのいくつかのトリックがあります：できる限り合計を使用してください。
例として、このコードは合計を使用して簡単に解決できます。
for (i = 0; i < 2*n; i += 2) { // 1
for (j=n; j > i; j--) { // 2
foo(); // 3
}
}
最初に確認する必要があるのは、の実行順序ですfoo()。いつものことですがO(1)、それについては教授に尋ねる必要があります。サイズに関係O(1)なくC、（ほぼ、ほとんど）定数を意味しますN。
for文番号1 のステートメントは注意が必要です。インデックスはで終わり2 * Nますが、増分は2ずつ行われます。つまり、最初のステップはステップforのみN実行され、カウントを2で除算する必要があります。
f(N) = Summation(i from 1 to 2 * N / 2)( ... ) =
= Summation(i from 1 to N)( ... )
文章番号2は、それがの値に依存するためにもトリッキーですi。見てみましょう：インデックスiは次の値を取ります：0、2、4、6、8、...、2 * N、2番目のfor実行：最初のN倍、2番目、2番目、N-4 3番目... N / 2ステージまで、2番目のステージforは実行されません。
公式では、これは次のことを意味します。
f(N) = Summation(i from 1 to N)( Summation(j = ???)( ) )
ここでも、ステップ数をカウントしています。そして、定義により、すべての合計は常に1で始まり、1以上の数で終わる必要があります。
f(N) = Summation(i from 1 to N)( Summation(j = 1 to (N - (i - 1) * 2)( C ) )
（私たちはそれfoo()がそうであるO(1)と仮定していますCステップを踏みます。）
ここに問題があります：iが値をN / 2 + 1上向きに取ると、内部合計は負の数で終わります！それは不可能で間違っています。合計を2つに分割する必要がありiますN / 2 + 1。これは、瞬間に要となる重要なポイントです。
f(N) = Summation(i from 1 to N / 2)( Summation(j = 1 to (N - (i - 1) * 2)) * ( C ) ) + Summation(i from 1 to N / 2) * ( C )
回転モーメントなので、i > N / 2内側forは実行されず、その本体は一定のC実行の複雑さを想定しています。
これで、いくつかのアイデンティティルールを使用して合計を簡略化できます。
- 合計（wは1からN）（C）= N * C
- Summation（w from 1 to N）（A（+/-）B）= Summation（w from 1 to N）（A）（+/-）Summation（w from 1 to N）（B）
- Summation（w from 1 to N）（w * C）= C * Summation（w from 1 to N）（w）（Cは定数であり、
w）
- 合計（wは1からN）（w）=（N *（N + 1））/ 2
代数を適用する：
f(N) = Summation(i from 1 to N / 2)( (N - (i - 1) * 2) * ( C ) ) + (N / 2)( C )
f(N) = C * Summation(i from 1 to N / 2)( (N - (i - 1) * 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (Summation(i from 1 to N / 2)( N ) - Summation(i from 1 to N / 2)( (i - 1) * 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * Summation(i from 1 to N / 2)( i - 1 )) + (N / 2)( C )
=> Summation(i from 1 to N / 2)( i - 1 ) = Summation(i from 1 to N / 2 - 1)( i )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * Summation(i from 1 to N / 2 - 1)( i )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * ( (N / 2 - 1) * (N / 2 - 1 + 1) / 2) ) + (N / 2)( C )
=> (N / 2 - 1) * (N / 2 - 1 + 1) / 2 =
(N / 2 - 1) * (N / 2) / 2 =
((N ^ 2 / 4) - (N / 2)) / 2 =
(N ^ 2 / 8) - (N / 4)
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * ( (N ^ 2 / 8) - (N / 4) )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - ( (N ^ 2 / 4) - (N / 2) )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - (N ^ 2 / 4) + (N / 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + C * (N / 2) + C * (N / 2)
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + 2 * C * (N / 2)
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + C * N
f(N) = C * 1/4 * N ^ 2 + C * N
そしてBigOhは：
O(N²)
