モジュラス演算子の代わりにビットごと

たとえば、2のべき乗のモジュロは次のように表現できることがわかります。

  x % 2 inpower n == x & (2 inpower n - 1).

例：

x % 2 == x & 1
x % 4 == x & 3
x % 8 == x & 7 

2つの数値の一般的な非べき乗についてはどうですか？

まあ言ってみれば：

x％7 ==？

まず第一に、それを言うことは実際には正確ではありません

x % 2 == x & 1

単純な反例：x = -1。Javaを含む多くの言語-1 % 2 == -1。つまり、%必ずしも従来の数学的定義のモジュロではありません。たとえば、Javaでは「剰余演算子」と呼ばれています。

ビット単位の最適化に関しては、2のべき乗のモジュロのみがビット単位の算術演算で「簡単に」実行できます。一般的に言えば、基数bのモジュロベキのみが、数値の基数b表現で「簡単に」実行できます。

たとえば、基数10では、負Nでない値の場合、N mod 10^k最下位k桁のみが使用されます。

参考文献

• JLS 15.17.3剰余演算子％
• Wikipedia / Modulo操作

ある簡単な方法だけビット単位を使用して2 ^私の番号のモジュロを見つけるために。

n％3、n％7などのリンクごとにメルセンヌのケースを解決する独創的な方法があります。n％5、n％255、およびn％6などの複合ケースの特別なケースがあります。

ケース2 ^ iの場合、（2、4、8、16 ...）

n % 2^i = n & (2^i - 1)

より複雑なものは説明するのが難しいです。非常に好奇心が強い場合にのみ読んでください。

これは2の累乗（多​​くの場合正の1のみ）でのみ機能します。これは、2進数表現で1ビットのみを「1」に設定するという固有のプロパティがあるためです。他のクラスの数値はこのプロパティを共有しないため、ほとんどのモジュラス式に対してビットごとのAND式を作成することはできません。

コンピュータは基数2で数値を表すため、これは特に特殊なケースです。これは一般化可能です。

（数値）_ベース％ベース^x

（number）_baseの最後のx桁と同等です。

効率的なアルゴリズムが存在する2のべき乗以外の係数があります。

たとえば、xが32ビットの符号なし整数の場合、x％3 = popcnt（x＆0x55555555）-popcnt（x＆0xaaaaaaaa）

「％」演算子なしのモジュロ「7」

int a = x % 7;

int a = (x + x / 7) & 7;

ビットごとのand（&バイナリで）演算子ない場合はありません。証明のスケッチ：

次のような値kがあったとしますx & k == x % (k + 1)が、k！= 2 ^ n-1です。次に、x == kの場合、式x & kは「正しく動作する」ように見え、結果はkになります。ここで、x == kiについて考えます。kに「0」ビットがあった場合、0より大きいiがいくつかあります。これらの位置では、kiは1ビットでしか表現できません。（たとえば、10 11（11）は、100（4）が減算されると0111（7）になる必要があります。この場合、i = 4の場合、000ビットは100になります。）kの式のビットがゼロから変化する必要がある場合気を表すために、それからx％（k + 1）を正しく計算できません。この場合、これはなければなりki、ただしビット単位のブール値を使用して、マスクを指定してその値を生成する方法はありません。

この特定のケース（mod 7）では、％7をビットごとの演算子で置き換えることができます。

// Return X%7 for X >= 0.
int mod7(int x)
{
  while (x > 7) x = (x&7) + (x>>3);
  return (x == 7)?0:x;
}

これは8％7 = 1であるため機能します。明らかに、このコードはおそらく単純なx％7よりも効率が悪く、読みにくくなります。

bitwise_and、bitwise_or、およびbitwise_notを使用すると、ビット構成を別のビット構成に変更できます（つまり、これらの演算子のセットは「機能的に完全」です）。ただし、モジュラスなどの操作の場合、一般式は必然的にかなり複雑になるため、それを再作成しようとすることさえありません。