sinとcosを一緒に計算する最も速い方法は何ですか？

値の正弦と余弦の両方を一緒に計算したい（たとえば、回転行列を作成したい）。もちろん、のように次々に別々に計算することもできますa = cos(x); b = sin(x);が、両方の値が必要な場合により速い方法があるかどうか疑問に思います。

編集： これまでの答えを要約するには：

• Vladは、FSINCOS両方を計算するasmコマンドがある（FSIN一人での呼び出しとほぼ同時に）と述べた

• Chiが気づいたように、この最適化はコンパイラーによって既に行われていることがあります（最適化フラグを使用する場合）。

• カフェは機能していること、を指摘sincosしてはsincosf、おそらく利用可能であり、ちょうど含めることによって直接呼び出すことができますmath.h

• ルックアップテーブルを使用する tanasciusのアプローチについては、議論の余地があります。（ただし、私のコンピューターとベンチマークシナリオではsincos、32ビット浮動小数点の場合とほぼ同じ精度の場合よりも3倍速く実行されます。）

• Joel Goodwinは、非常に優れた精度の非常に高速な近似手法の興味深いアプローチにリンクしています（私にとって、これはテーブルルックアップよりもさらに高速です）

最新のIntel / AMDプロセッサにはFSINCOS、正弦関数と余弦関数を同時に計算するための命令があります。強力な最適化が必要な場合は、おそらくそれを使用する必要があります。

ここに小さな例があります：http : //home.broadpark.no/~alein/fsincos.html

次に、MSVCの別の例を示します。http：//www.codeguru.com/forum/showthread.php？ t = 328669

これはさらに別の例です（gccを使用）：http : //www.allegro.cc/forums/thread/588470

それらの1つが役立つことを願っています。（申し訳ありませんが、私はこの説明を自分で使用していません。）

それらはプロセッサレベルでサポートされているため、テーブルルックアップよりもはるかに高速であることが期待されます。

編集：
ウィキペディアは、FSINCOS387プロセッサで追加されたことを示唆しているため、それをサポートしていないプロセッサはほとんど見つかりません。

編集：
Intelのドキュメントには、浮動小数点除算FSINCOSよりも約5倍遅いと記載されていFDIVます。

編集：
すべての最新のコンパイラがサインとコサインの計算をへの呼び出しに最適化するわけではないことに注意してくださいFSINCOS。特に、私のVS 2008はそのようにはしませんでした。

編集：
最初のサンプルリンクは無効ですが、Wayback Machineにはまだバージョンがあります。

現代のx86プロセッサには、あなたが求めていることを正確に実行するfsincos命令があります-sinとcosを同時に計算します。適切な最適化コンパイラは、同じ値のsinとcosを計算するコードを検出し、fsincosコマンドを使用してこれを実行する必要があります。

これが機能するには、コンパイラフラグをいじる必要がありましたが、

$ gcc --version
i686-apple-darwin9-gcc-4.0.1 (GCC) 4.0.1 (Apple Inc. build 5488)
Copyright (C) 2005 Free Software Foundation, Inc.
This is free software; see the source for copying conditions.  There is NO
warranty; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.

$ cat main.c
#include <math.h> 

struct Sin_cos {double sin; double cos;};

struct Sin_cos fsincos(double val) {
  struct Sin_cos r;
  r.sin = sin(val);
  r.cos = cos(val);
  return r;
}

$ gcc -c -S -O3 -ffast-math -mfpmath=387 main.c -o main.s

$ cat main.s
    .text
    .align 4,0x90
.globl _fsincos
_fsincos:
    pushl   %ebp
    movl    %esp, %ebp
    fldl    12(%ebp)
    fsincos
    movl    8(%ebp), %eax
    fstpl   8(%eax)
    fstpl   (%eax)
    leave
    ret $4
    .subsections_via_symbols

多田さん、fsincos命令を使っています！

パフォーマンスが必要な場合は、事前に計算されたsin / cosテーブルを使用できます（1つのテーブルで実行でき、辞書として保存されます）。まあ、それはあなたが必要とする精度に依存するかもしれません（多分テーブルは非常に大きいでしょう）が、それは本当に速いはずです。

技術的には、複素数とオイラーの公式を使用してこれを実現します。したがって、（C ++）のようなもの

complex<double> res = exp(complex<double>(0, x));
// or equivalent
complex<double> res = polar<double>(1, x);
double sin_x = res.imag();
double cos_x = res.real();

1ステップでサインとコサインが得られます。これが内部でどのように行われるかは、使用されているコンパイラとライブラリの問題です。（オイラーの式がand を使用して複素数expを計算するために主に使用され、逆方向では使用されないため）これを行うには長い時間がかかる可能性があります（ただし、そうなる可能性があります）。sincos

編集する

<complex>GNU C ++ 4.2 のヘッダーはsinとcos内部の明示的な計算を使用しているpolarため、コンパイラーが魔法をかけない限り、最適化にはあまり見栄えがよくありません（Chiの回答に記載されている-ffast-mathと-mfpmathスイッチを参照）。

どちらかを計算してから、IDを使用できます。

cos（x）2 = 1-sin（x）2

しかし、@ tanasciusが言うように、事前計算されたテーブルが先の方法です。

GNU Cライブラリを使用すると、次のことができます。

#define _GNU_SOURCE
#include <math.h>

あなたはの宣言を取得しますsincos()、sincosf()とsincosl()一緒に両方の値を計算する関数を-おそらく、あなたのターゲットアーキテクチャのための最速の方法で。

このフォーラムページには非常に興味深いものがあり、高速で適切な近似を見つけることに重点が置かれています。http： //www.devmaster.net/forums/showthread.php？t = 5784

免責事項：私自身はこれを使用していません。

2018年2月22日更新：現在、元のページにアクセスする唯一の方法は、ウェイバックマシンです：https : //web.archive.org/web/20130927121234/http : //devmaster.net/posts/9648/fast-and-accurate-サインコサイン

cafが示すように、多くのC数学ライブラリにはすでにsincos（）があります。注目すべき例外はMSVCです。

• Sunは少なくとも1987年から（23年目、私はハードコピーのmanページを持っています）sincos（）を使用しています。
• HPUX 11には1997年に搭載されていました（ただしHPUX 10.20には搭載されていません）
• バージョン2.1でglibcに追加（1999年2月）
• gcc 3.4（2004）、__ builtin_sincos（）の組み込みになりました。

ルックアップに関しては、Unixプログラミングの芸術（2004）のエリックS.レイモンド（第12章）は、これは悪い考えだと明言しています（現時点では）。

「もう1つの例は、小さなテーブルの事前計算です。たとえば、3Dグラフィックエンジンの回転を最適化するためのsin（x）のテーブルは、最新のマシンでは365×4バイトかかります。プロセッサがメモリよりも高速でキャッシュを要求する前に、これは明らかな速度の最適化でした。現在では、テーブルが原因で発生する追加のキャッシュミスの割合を支払うよりも、毎回再計算する方が速い場合があります。

「しかし、将来的には、キャッシュが大きくなると、これは再び好転する可能性があります。より一般的には、多くの最適化は一時的なものであり、コスト比率が変化すると簡単に悲観化に変わります。知る唯一の方法は、測定して確認することです。」（Art of Unix Programmingから）

しかし、上記の議論から判断すると、誰もが同意するわけではありません。

ルックアップテーブルがこの問題に対して必ずしも良い考えであるとは思いません。精度要件が非常に低い場合を除き、テーブルは非常に大きくする必要があります。また、最近のCPUは、値がメインメモリからフェッチされている間、多くの計算を実行できます。これは、議論によって適切に答えることができる質問の1つではなく（私のものではありません）、データをテストおよび測定して検討します。

しかし、AMDのACMLやIntelのMKLなどのライブラリにあるSinCosの高速実装に注目します。

商用製品を使用する意思があり、同時に多数のsin / cos計算を計算している場合（ベクトル化された関数を使用できるようにする場合）は、IntelのMath Kernel Libraryを確認してください。

それは sincos関数を

そのドキュメントによると、高精度モードのコア2デュオでは平均13.08クロック/要素であり、これはfsincosよりもさらに高速になると思います。

この記事では、正弦と余弦の両方を生成する放物線アルゴリズムを構築する方法を示します。

DSPトリック：SinとCosの同時放物線近似

http://www.dspguru.com/dsp/tricks/parabolic-approximation-of-sin-and-cos

この種のことでパフォーマンスが重要な場合、ルックアップテーブルを導入することは珍しくありません。

クリエイティブなアプローチとして、テイラーシリーズを拡張してみませんか？それらは類似した用語を持っているので、次の疑似のようなことをすることができます：

numerator = x
denominator = 1
sine = x
cosine = 1
op = -1
fact = 1

while (not enough precision) {
    fact++
    denominator *= fact
    numerator *= x

    cosine += op * numerator / denominator

    fact++
    denominator *= fact
    numerator *= x

    sine += op * numerator / denominator

    op *= -1
}

これは、あなたがこのようなことをすることを意味します：sinとcosineのxと1から始めて、パターンに従います-x ^ 2/2を引きます！コサインから、x ^ 3/3を引きます！サインから、x ^ 4/4を追加！コサインにx ^ 5/5を追加！サインする...

これが効果的かどうかはわかりません。組み込みのsin（）およびcos（）が提供するよりも低い精度が必要な場合は、それがオプションである可能性があります。

CEPHESライブラリには非常に高速で、CPU時間を多少長くしたり、柔軟に精度を追加/削除したりできる優れたソリューションがあります。

cos（x）とsin（x）はexp（ix）の実数部と虚数部であることを覚えておいてください。したがって、両方を取得するためにexp（ix）を計算します。0と2piの間のyのいくつかの離散値に対してexp（iy）を事前計算します。xを区間[0、2pi）にシフトします。次に、xに最も近いyを選択して、
exp（ix）= exp（iy +（ix-iy））= exp（iy）exp（i（xy））ます。

ルックアップテーブルからexp（iy）を取得します。そして| xy |以来 が小さい（最大でy値間の距離の半分）場合、テイラー級数は数項でうまく収束するため、exp（i（xy））に使用します。そして、exp（ix）を取得するには、複雑な乗算が必要です。

これのもう1つの優れた特性は、SSEを使用してベクトル化できることです。

あなたは見ていたいかもしれhttp://gruntthepeon.free.fr/ssemath/ CEPHESライブラリからインスピレーションを得たSSEベクトル化の実装を提供しています、。精度（sin / cosからの最大偏差が5e-8である）と速度（1回の呼び出しではfsincosをわずかに上回っており、複数の値で明らかに勝者です）。

2つの角度の正弦と余弦の両方を一度に計算できるインラインARMアセンブリを含むソリューションをここに投稿しました：ARMv7 + NEONの高速正弦/余弦

正確で高速なsinとcos関数の同時近似は、JavaScriptで次の場所にあります。http：//danisraelmalta.github.io/Fmath/ （簡単にc / c ++にインポートされます）

2つの関数のルックアップテーブルを宣言することを考えましたか？sin（x）とcos（x）を「計算」する必要がありますが、高度な精度が必要ない場合は、明らかに高速になります。

MSVCコンパイラは（内部）SSE2関数を使用する場合があります

 ___libm_sse2_sincos_ (for x86)
 __libm_sse2_sincos_  (for x64)

適切なコンパイラフラグが指定されている場合、最適化されたビルドで（少なくとも/ O2 / arch：SSE2 / fp：fast）。これらの関数の名前は、別々のsinとcosを計算するのではなく、両方とも「1つのステップで」計算することを意味するようです。

例えば：

void sincos(double const x, double & s, double & c)
{
  s = std::sin(x);
  c = std::cos(x);
}

/ fp：fastを使用したアセンブリ（x86用）：

movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    ___libm_sse2_sincos_
mov     eax, DWORD PTR _s$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
mov     eax, DWORD PTR _c$[esp-4]
shufpd  xmm0, xmm0, 1
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
ret     0

/ fp：fastを使用せず、代わりに/ fp：preciseを使用した（x86の）アセンブリ（デフォルト）は、sinとcosを個別に呼び出します。

movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    __libm_sse2_sin_precise
mov     eax, DWORD PTR _s$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
movsd   xmm0, QWORD PTR _x$[esp-4]
call    __libm_sse2_cos_precise
mov     eax, DWORD PTR _c$[esp-4]
movsd   QWORD PTR [eax], xmm0
ret     0

したがって、sincosの最適化には/ fp：fastが必須です。

しかし、注意してください

___libm_sse2_sincos_

多分それほど正確ではない

__libm_sse2_sin_precise
__libm_sse2_cos_precise

名前の末尾に「正確」がないため。

最新のMSVC 2019コンパイラと適切な最適化を備えた「やや」古いシステム（Intel Core 2 Duo E6750）では、sincos呼び出しが個別のsinおよびcos呼び出しよりも約2.4倍速いことがベンチマークで示されています。