整数のセットがあります。動的プログラミングを使用して、そのセットの最も長く増加しているサブシーケンスを見つけたいと思います。
整数のセットがあります。動的プログラミングを使用して、そのセットの最も長く増加しているサブシーケンスを見つけたいと思います。
回答:
では、最初にO(N ^ 2)である最も単純なソリューションについて説明します。ここで、Nはコレクションのサイズです。また、O(N log N)ソリューションも存在します。これについても説明します。これについては、効率的なアルゴリズムのセクションをご覧ください。
配列のインデックスは0からN-1であると想定します。そこでDP[i]
、indexの要素で終了するLIS(最長のサブシーケンス)の長さと定義しますi
。計算するDP[i]
には、すべてのインデックスj < i
を調べ、両方かどうかDP[j] + 1 > DP[i]
をチェックarray[j] < array[i]
します(増加することを望みます)。これが真の場合、の現在の最適値を更新できDP[i]
ます。アレイの全体的な最適値を見つけるには、から最大値を取得できますDP[0...N - 1]
。
int maxLength = 1, bestEnd = 0;
DP[0] = 1;
prev[0] = -1;
for (int i = 1; i < N; i++)
{
DP[i] = 1;
prev[i] = -1;
for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
if (DP[j] + 1 > DP[i] && array[j] < array[i])
{
DP[i] = DP[j] + 1;
prev[i] = j;
}
if (DP[i] > maxLength)
{
bestEnd = i;
maxLength = DP[i];
}
}
配列を使用して、prev
後で長さだけでなく実際のシーケンスを見つけることができます。bestEnd
を使用してループ内から再帰的に戻るだけprev[bestEnd]
です。-1
値が停止するサインです。
O(N log N)
ソリューションに移りましょう。させるS[pos]
長さの増加シーケンスを終了最小の整数として定義されますpos
。次にX
、入力セットのすべての整数を反復処理し、次のことを行います。
X
>の最後の要素の場合は、の末尾にS
追加X
しますS
。これは本質的に、我々が新しい最大のものを見つけたことを意味しLIS
ます。
それ以外の場合で最小の要素を見つけるS
で、>=
よりをX
し、それを変更しますX
。S
はいつでもソートされるため、でバイナリ検索を使用して要素を見つけることができますlog(N)
。
合計実行時間- N
整数とそれぞれのバイナリ検索-N * log(N)= O(N log N)
実際の例を見てみましょう:
整数のコレクション:
2 6 3 4 1 2 9 5 8
手順:
0. S = {} - Initialize S to the empty set
1. S = {2} - New largest LIS
2. S = {2, 6} - New largest LIS
3. S = {2, 3} - Changed 6 to 3
4. S = {2, 3, 4} - New largest LIS
5. S = {1, 3, 4} - Changed 2 to 1
6. S = {1, 2, 4} - Changed 3 to 2
7. S = {1, 2, 4, 9} - New largest LIS
8. S = {1, 2, 4, 5} - Changed 9 to 5
9. S = {1, 2, 4, 5, 8} - New largest LIS
したがって、LISの長さは5
(Sのサイズ)です。
実際を再構築するLIS
ために、親配列を再び使用します。してみましょうparent[i]
インデックスを持つ要素の前身ことi
でLIS
インデックスを持つ要素で終わりますi
。
物事をより簡単にするためにS
、実際の整数ではなく配列に保持することができますが、セット内のそれらのインデックス(位置)を保持できます。保管{1, 2, 4, 5, 8}
はしていませんが、保管してい{4, 5, 3, 7, 8}
ます。
つまり、input [4] = 1、input [5] = 2、input [3] = 4、input [7] = 5、input [8] = 8です。
親配列を適切に更新すると、実際のLISは次のようになります。
input[S[lastElementOfS]],
input[parent[S[lastElementOfS]]],
input[parent[parent[S[lastElementOfS]]]],
........................................
ここで重要なことですが、親配列をどのように更新しますか?2つのオプションがあります。
もしX
>内の最後の要素S
、その後、parent[indexX] = indexLastElement
。これは、最新の要素の親が最後の要素であることを意味します。X
末尾に追加するだけですS
。
それ以外の場合における最小の要素のインデックスを見つけるS
で、>=
よりをX
し、それを変更しますX
。こちらparent[indexX] = S[index - 1]
。
DP[j] + 1 == DP[i]
その後、でDP[i]
改善されない場合DP[i] = DP[j] + 1
。最適化を図っていますDP[i]
。
[1,2,5,8]
、4が配列の1の前に来るはず[1,2,4,5,8]
です。LISはどのようにできますか?
[2,3,4,5,8]
です。注意深く読んでください- S
配列DOES NOT
は実際のシーケンスを表しています。Let S[pos] be defined as the smallest integer that ends an increasing sequence of length pos.
Petar Minchevの説明は私にとってはわかりやすいものでしたが、すべての内容を解析することは困難でした。そのため、過度に説明的な変数名と多数のコメントを含むPython実装を作成しました。私は単純な再帰的解法、O(n ^ 2)解法、およびO(n log n)解法を実行しました。
アルゴリズムをクリアするのに役立つことを願っています!
def recursive_solution(remaining_sequence, bigger_than=None):
"""Finds the longest increasing subsequence of remaining_sequence that is
bigger than bigger_than and returns it. This solution is O(2^n)."""
# Base case: nothing is remaining.
if len(remaining_sequence) == 0:
return remaining_sequence
# Recursive case 1: exclude the current element and process the remaining.
best_sequence = recursive_solution(remaining_sequence[1:], bigger_than)
# Recursive case 2: include the current element if it's big enough.
first = remaining_sequence[0]
if (first > bigger_than) or (bigger_than is None):
sequence_with = [first] + recursive_solution(remaining_sequence[1:], first)
# Choose whichever of case 1 and case 2 were longer.
if len(sequence_with) >= len(best_sequence):
best_sequence = sequence_with
return best_sequence
def dynamic_programming_solution(sequence):
"""Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic
programming. This solution is O(n^2)."""
longest_subsequence_ending_with = []
backreference_for_subsequence_ending_with = []
current_best_end = 0
for curr_elem in range(len(sequence)):
# It's always possible to have a subsequence of length 1.
longest_subsequence_ending_with.append(1)
# If a subsequence is length 1, it doesn't have a backreference.
backreference_for_subsequence_ending_with.append(None)
for prev_elem in range(curr_elem):
subsequence_length_through_prev = (longest_subsequence_ending_with[prev_elem] + 1)
# If the prev_elem is smaller than the current elem (so it's increasing)
# And if the longest subsequence from prev_elem would yield a better
# subsequence for curr_elem.
if ((sequence[prev_elem] < sequence[curr_elem]) and
(subsequence_length_through_prev >
longest_subsequence_ending_with[curr_elem])):
# Set the candidate best subsequence at curr_elem to go through prev.
longest_subsequence_ending_with[curr_elem] = (subsequence_length_through_prev)
backreference_for_subsequence_ending_with[curr_elem] = prev_elem
# If the new end is the best, update the best.
if (longest_subsequence_ending_with[curr_elem] >
longest_subsequence_ending_with[current_best_end]):
current_best_end = curr_elem
# Output the overall best by following the backreferences.
best_subsequence = []
current_backreference = current_best_end
while current_backreference is not None:
best_subsequence.append(sequence[current_backreference])
current_backreference = (backreference_for_subsequence_ending_with[current_backreference])
best_subsequence.reverse()
return best_subsequence
def find_smallest_elem_as_big_as(sequence, subsequence, elem):
"""Returns the index of the smallest element in subsequence as big as
sequence[elem]. sequence[elem] must not be larger than every element in
subsequence. The elements in subsequence are indices in sequence. Uses
binary search."""
low = 0
high = len(subsequence) - 1
while high > low:
mid = (high + low) / 2
# If the current element is not as big as elem, throw out the low half of
# sequence.
if sequence[subsequence[mid]] < sequence[elem]:
low = mid + 1
# If the current element is as big as elem, throw out everything bigger, but
# keep the current element.
else:
high = mid
return high
def optimized_dynamic_programming_solution(sequence):
"""Finds the longest increasing subsequence in sequence using dynamic
programming and binary search (per
http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence). This solution
is O(n log n)."""
# Both of these lists hold the indices of elements in sequence and not the
# elements themselves.
# This list will always be sorted.
smallest_end_to_subsequence_of_length = []
# This array goes along with sequence (not
# smallest_end_to_subsequence_of_length). Following the corresponding element
# in this array repeatedly will generate the desired subsequence.
parent = [None for _ in sequence]
for elem in range(len(sequence)):
# We're iterating through sequence in order, so if elem is bigger than the
# end of longest current subsequence, we have a new longest increasing
# subsequence.
if (len(smallest_end_to_subsequence_of_length) == 0 or
sequence[elem] > sequence[smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]]):
# If we are adding the first element, it has no parent. Otherwise, we
# need to update the parent to be the previous biggest element.
if len(smallest_end_to_subsequence_of_length) > 0:
parent[elem] = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
smallest_end_to_subsequence_of_length.append(elem)
else:
# If we can't make a longer subsequence, we might be able to make a
# subsequence of equal size to one of our earlier subsequences with a
# smaller ending number (which makes it easier to find a later number that
# is increasing).
# Thus, we look for the smallest element in
# smallest_end_to_subsequence_of_length that is at least as big as elem
# and replace it with elem.
# This preserves correctness because if there is a subsequence of length n
# that ends with a number smaller than elem, we could add elem on to the
# end of that subsequence to get a subsequence of length n+1.
location_to_replace = find_smallest_elem_as_big_as(sequence, smallest_end_to_subsequence_of_length, elem)
smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace] = elem
# If we're replacing the first element, we don't need to update its parent
# because a subsequence of length 1 has no parent. Otherwise, its parent
# is the subsequence one shorter, which we just added onto.
if location_to_replace != 0:
parent[elem] = (smallest_end_to_subsequence_of_length[location_to_replace - 1])
# Generate the longest increasing subsequence by backtracking through parent.
curr_parent = smallest_end_to_subsequence_of_length[-1]
longest_increasing_subsequence = []
while curr_parent is not None:
longest_increasing_subsequence.append(sequence[curr_parent])
curr_parent = parent[curr_parent]
longest_increasing_subsequence.reverse()
return longest_increasing_subsequence
bisect
。アルゴリズムのしくみとそのパフォーマンス特性のデモンストレーションのために、私は物事をできるだけ原始的に保つように努めていました。
DPソリューションについて言えば、LISをLCSに削減できるという事実について誰も言及しなかったのは驚くべきことでした。元のシーケンスのコピーを並べ替え、重複をすべて削除し、それらのLCSを実行するだけです。擬似コードでは次のとおりです。
def LIS(S):
T = sort(S)
T = removeDuplicates(T)
return LCS(S, T)
そして、Goで書かれた完全な実装。解を再構築する必要がない場合は、n ^ 2 DP行列全体を維持する必要はありません。
func lcs(arr1 []int) int {
arr2 := make([]int, len(arr1))
for i, v := range arr1 {
arr2[i] = v
}
sort.Ints(arr1)
arr3 := []int{}
prev := arr1[0] - 1
for _, v := range arr1 {
if v != prev {
prev = v
arr3 = append(arr3, v)
}
}
n1, n2 := len(arr1), len(arr3)
M := make([][]int, n2 + 1)
e := make([]int, (n1 + 1) * (n2 + 1))
for i := range M {
M[i] = e[i * (n1 + 1):(i + 1) * (n1 + 1)]
}
for i := 1; i <= n2; i++ {
for j := 1; j <= n1; j++ {
if arr2[j - 1] == arr3[i - 1] {
M[i][j] = M[i - 1][j - 1] + 1
} else if M[i - 1][j] > M[i][j - 1] {
M[i][j] = M[i - 1][j]
} else {
M[i][j] = M[i][j - 1]
}
}
}
return M[n2][n1]
}
次のC ++実装には、という配列を使用して、実際に最も長く増加するサブシーケンスを作成するコードも含まれていprev
ます。
std::vector<int> longest_increasing_subsequence (const std::vector<int>& s)
{
int best_end = 0;
int sz = s.size();
if (!sz)
return std::vector<int>();
std::vector<int> prev(sz,-1);
std::vector<int> memo(sz, 0);
int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
memo[0] = 1;
for ( auto i = 1; i < sz; ++i)
{
for ( auto j = 0; j < i; ++j)
{
if ( s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1 )
{
memo[i] = memo[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
if ( memo[i] > max_length )
{
best_end = i;
max_length = memo[i];
}
}
// Code that builds the longest increasing subsequence using "prev"
std::vector<int> results;
results.reserve(sz);
std::stack<int> stk;
int current = best_end;
while (current != -1)
{
stk.push(s[current]);
current = prev[current];
}
while (!stk.empty())
{
results.push_back(stk.top());
stk.pop();
}
return results;
}
スタックなしの実装はベクトルを逆にします
#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>
std::vector<int> LIS( const std::vector<int> &v ) {
auto sz = v.size();
if(!sz)
return v;
std::vector<int> memo(sz, 0);
std::vector<int> prev(sz, -1);
memo[0] = 1;
int best_end = 0;
int max_length = std::numeric_limits<int>::min();
for (auto i = 1; i < sz; ++i) {
for ( auto j = 0; j < i ; ++j) {
if (s[j] < s[i] && memo[i] < memo[j] + 1) {
memo[i] = memo[j] + 1;
prev[i] = j;
}
}
if(memo[i] > max_length) {
best_end = i;
max_length = memo[i];
}
}
// create results
std::vector<int> results;
results.reserve(v.size());
auto current = best_end;
while (current != -1) {
results.push_back(s[current]);
current = prev[current];
}
std::reverse(results.begin(), results.end());
return results;
}
動的プログラミングの観点から問題を評価する3つのステップを次に示します。
例として、インデックス{0、8、2、3、7、9}のシーケンスを取るとすると、
動作するC ++ 11コードは次のとおりです。
#include <iostream>
#include <vector>
int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence, size_t index, std::vector<std::vector<int>> &sub) {
if(index == 0) {
sub.push_back(std::vector<int>{sequence[0]});
return 1;
}
size_t longestSubSeq = getLongestIncSub(sequence, index - 1, sub);
std::vector<std::vector<int>> tmpSubSeq;
for(std::vector<int> &subSeq : sub) {
if(subSeq[subSeq.size() - 1] < sequence[index]) {
std::vector<int> newSeq(subSeq);
newSeq.push_back(sequence[index]);
longestSubSeq = std::max(longestSubSeq, newSeq.size());
tmpSubSeq.push_back(newSeq);
}
}
std::copy(tmpSubSeq.begin(), tmpSubSeq.end(),
std::back_insert_iterator<std::vector<std::vector<int>>>(sub));
return longestSubSeq;
}
int getLongestIncSub(const std::vector<int> &sequence) {
std::vector<std::vector<int>> sub;
return getLongestIncSub(sequence, sequence.size() - 1, sub);
}
int main()
{
std::vector<int> seq{0, 8, 2, 3, 7, 9};
std::cout << getLongestIncSub(seq);
return 0;
}
以下は、O(n ^ 2)アルゴリズムのScala実装です。
object Solve {
def longestIncrSubseq[T](xs: List[T])(implicit ord: Ordering[T]) = {
xs.foldLeft(List[(Int, List[T])]()) {
(sofar, x) =>
if (sofar.isEmpty) List((1, List(x)))
else {
val resIfEndsAtCurr = (sofar, xs).zipped map {
(tp, y) =>
val len = tp._1
val seq = tp._2
if (ord.lteq(y, x)) {
(len + 1, x :: seq) // reversely recorded to avoid O(n)
} else {
(1, List(x))
}
}
sofar :+ resIfEndsAtCurr.maxBy(_._1)
}
}.maxBy(_._1)._2.reverse
}
def main(args: Array[String]) = {
println(longestIncrSubseq(List(
0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15)))
}
}
次に、別のO(n ^ 2)JAVA実装を示します。実際のサブシーケンスを生成するための再帰/メモ化はありません。すべてのステージで実際のLISを格納する文字列配列と、各要素のLISの長さを格納する配列です。とても簡単です。見てください:
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
/**
* Created by Shreyans on 4/16/2015
*/
class LNG_INC_SUB//Longest Increasing Subsequence
{
public static void main(String[] args) throws Exception
{
BufferedReader br=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
System.out.println("Enter Numbers Separated by Spaces to find their LIS\n");
String[] s1=br.readLine().split(" ");
int n=s1.length;
int[] a=new int[n];//Array actual of Numbers
String []ls=new String[n];// Array of Strings to maintain LIS for every element
for(int i=0;i<n;i++)
{
a[i]=Integer.parseInt(s1[i]);
}
int[]dp=new int[n];//Storing length of max subseq.
int max=dp[0]=1;//Defaults
String seq=ls[0]=s1[0];//Defaults
for(int i=1;i<n;i++)
{
dp[i]=1;
String x="";
for(int j=i-1;j>=0;j--)
{
//First check if number at index j is less than num at i.
// Second the length of that DP should be greater than dp[i]
// -1 since dp of previous could also be one. So we compare the dp[i] as empty initially
if(a[j]<a[i]&&dp[j]>dp[i]-1)
{
dp[i]=dp[j]+1;//Assigning temp length of LIS. There may come along a bigger LIS of a future a[j]
x=ls[j];//Assigning temp LIS of a[j]. Will append a[i] later on
}
}
x+=(" "+a[i]);
ls[i]=x;
if(dp[i]>max)
{
max=dp[i];
seq=ls[i];
}
}
System.out.println("Length of LIS is: " + max + "\nThe Sequence is: " + seq);
}
}
実行中のコード:http : //ideone.com/sBiOQx
これは、動的プログラミングを使用してO(n ^ 2)で解決できます。同じためのPythonコードは次のようになります:-
def LIS(numlist):
LS = [1]
for i in range(1, len(numlist)):
LS.append(1)
for j in range(0, i):
if numlist[i] > numlist[j] and LS[i]<=LS[j]:
LS[i] = 1 + LS[j]
print LS
return max(LS)
numlist = map(int, raw_input().split(' '))
print LIS(numlist)
入力:5 19 5 81 50 28 29 1 83 23
出力は次のようになります:[1, 2, 1, 3, 3, 3, 4, 1, 5, 3]
5
出力リストのlist_indexは、入力リストのlist_indexです。出力リストの特定のlist_indexの値は、そのlist_indexのサブシーケンスの長さが最も長くなることを示します。
ここにjava O(nlogn)実装があります
import java.util.Scanner;
public class LongestIncreasingSeq {
private static int binarySearch(int table[],int a,int len){
int end = len-1;
int beg = 0;
int mid = 0;
int result = -1;
while(beg <= end){
mid = (end + beg) / 2;
if(table[mid] < a){
beg=mid+1;
result = mid;
}else if(table[mid] == a){
return len-1;
}else{
end = mid-1;
}
}
return result;
}
public static void main(String[] args) {
// int[] t = {1, 2, 5,9,16};
// System.out.println(binarySearch(t , 9, 5));
Scanner in = new Scanner(System.in);
int size = in.nextInt();//4;
int A[] = new int[size];
int table[] = new int[A.length];
int k = 0;
while(k<size){
A[k++] = in.nextInt();
if(k<size-1)
in.nextLine();
}
table[0] = A[0];
int len = 1;
for (int i = 1; i < A.length; i++) {
if(table[0] > A[i]){
table[0] = A[i];
}else if(table[len-1]<A[i]){
table[len++]=A[i];
}else{
table[binarySearch(table, A[i],len)+1] = A[i];
}
}
System.out.println(len);
}
}
これはO(n ^ 2)のJava実装です。私は、バイナリ検索を使用してSの最小要素(Xよりも大きい> =)を検索しませんでした。forループを使用しただけです。バイナリ検索を使用すると、O(n logn)で複雑になります
public static void olis(int[] seq){
int[] memo = new int[seq.length];
memo[0] = seq[0];
int pos = 0;
for (int i=1; i<seq.length; i++){
int x = seq[i];
if (memo[pos] < x){
pos++;
memo[pos] = x;
} else {
for(int j=0; j<=pos; j++){
if (memo[j] >= x){
memo[j] = x;
break;
}
}
}
//just to print every step
System.out.println(Arrays.toString(memo));
}
//the final array with the LIS
System.out.println(Arrays.toString(memo));
System.out.println("The length of lis is " + (pos + 1));
}
配列要素で最も長く増加するサブシーケンスについて、Javaのコードをチェックアウトします
/**
** Java Program to implement Longest Increasing Subsequence Algorithm
**/
import java.util.Scanner;
/** Class LongestIncreasingSubsequence **/
class LongestIncreasingSubsequence
{
/** function lis **/
public int[] lis(int[] X)
{
int n = X.length - 1;
int[] M = new int[n + 1];
int[] P = new int[n + 1];
int L = 0;
for (int i = 1; i < n + 1; i++)
{
int j = 0;
/** Linear search applied here. Binary Search can be applied too.
binary search for the largest positive j <= L such that
X[M[j]] < X[i] (or set j = 0 if no such value exists) **/
for (int pos = L ; pos >= 1; pos--)
{
if (X[M[pos]] < X[i])
{
j = pos;
break;
}
}
P[i] = M[j];
if (j == L || X[i] < X[M[j + 1]])
{
M[j + 1] = i;
L = Math.max(L,j + 1);
}
}
/** backtrack **/
int[] result = new int[L];
int pos = M[L];
for (int i = L - 1; i >= 0; i--)
{
result[i] = X[pos];
pos = P[pos];
}
return result;
}
/** Main Function **/
public static void main(String[] args)
{
Scanner scan = new Scanner(System.in);
System.out.println("Longest Increasing Subsequence Algorithm Test\n");
System.out.println("Enter number of elements");
int n = scan.nextInt();
int[] arr = new int[n + 1];
System.out.println("\nEnter "+ n +" elements");
for (int i = 1; i <= n; i++)
arr[i] = scan.nextInt();
LongestIncreasingSubsequence obj = new LongestIncreasingSubsequence();
int[] result = obj.lis(arr);
/** print result **/
System.out.print("\nLongest Increasing Subsequence : ");
for (int i = 0; i < result.length; i++)
System.out.print(result[i] +" ");
System.out.println();
}
}
これは、動的プログラミングを使用してO(n ^ 2)で解決できます。
入力要素を順番に処理し、各要素のタプルのリストを維持します。要素iの各タプル(A、B)は、A = iで終わる最も長く増加するサブシーケンスの長さ、およびB = list [iで終わる最も長く増加するサブシーケンスのlist [i]の先行のインデックス]。
要素1から開始して、要素1のタプルのリストは要素iの[(1,0)]になり、リスト0..iをスキャンして、list [k] <list [i]となるような要素list [k]を見つけます。 、要素iのAの値、AiはAk + 1、Biはkになります。そのような要素が複数ある場合は、要素iのタプルのリストに追加します。
最後に、Aの最大値(要素で終わるLISの長さ)を持つすべての要素を検索し、タプルを使用してバックトラックしてリストを取得します。
同じコードをhttp://www.edufyme.com/code/?id=66f041e16a60928b05a7e228a89c3799で共有しました
O(n ^ 2)Java実装:
void LIS(int arr[]){
int maxCount[]=new int[arr.length];
int link[]=new int[arr.length];
int maxI=0;
link[0]=0;
maxCount[0]=0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if(arr[j]<arr[i] && ((maxCount[j]+1)>maxCount[i])){
maxCount[i]=maxCount[j]+1;
link[i]=j;
if(maxCount[i]>maxCount[maxI]){
maxI=i;
}
}
}
}
for (int i = 0; i < link.length; i++) {
System.out.println(arr[i]+" "+link[i]);
}
print(arr,maxI,link);
}
void print(int arr[],int index,int link[]){
if(link[index]==index){
System.out.println(arr[index]+" ");
return;
}else{
print(arr, link[index], link);
System.out.println(arr[index]+" ");
}
}
def longestincrsub(arr1):
n=len(arr1)
l=[1]*n
for i in range(0,n):
for j in range(0,i) :
if arr1[j]<arr1[i] and l[i]<l[j] + 1:
l[i] =l[j] + 1
l.sort()
return l[-1]
arr1=[10,22,9,33,21,50,41,60]
a=longestincrsub(arr1)
print(a)
これをO(nlogn)時間で解決できる方法がありますが(これはO(n ^ 2)時間で解決されます)、この方法でも動的プログラミングのアプローチが得られます。
これが、バイナリ検索を使用した私のLeetcodeソリューションです:->
class Solution:
def binary_search(self,s,x):
low=0
high=len(s)-1
flag=1
while low<=high:
mid=(high+low)//2
if s[mid]==x:
flag=0
break
elif s[mid]<x:
low=mid+1
else:
high=mid-1
if flag:
s[low]=x
return s
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
if not nums:
return 0
s=[]
s.append(nums[0])
for i in range(1,len(nums)):
if s[-1]<nums[i]:
s.append(nums[i])
else:
s=self.binary_search(s,nums[i])
return len(s)
#include <iostream>
#include "vector"
using namespace std;
// binary search (If value not found then it will return the index where the value should be inserted)
int ceilBinarySearch(vector<int> &a,int beg,int end,int value)
{
if(beg<=end)
{
int mid = (beg+end)/2;
if(a[mid] == value)
return mid;
else if(value < a[mid])
return ceilBinarySearch(a,beg,mid-1,value);
else
return ceilBinarySearch(a,mid+1,end,value);
return 0;
}
return beg;
}
int lis(vector<int> arr)
{
vector<int> dp(arr.size(),0);
int len = 0;
for(int i = 0;i<arr.size();i++)
{
int j = ceilBinarySearch(dp,0,len-1,arr[i]);
dp[j] = arr[i];
if(j == len)
len++;
}
return len;
}
int main()
{
vector<int> arr {2, 5,-1,0,6,1,2};
cout<<lis(arr);
return 0;
}
出力:
4
最長増加サブシーケンス(Java)
import java.util.*;
class ChainHighestValue implements Comparable<ChainHighestValue>{
int highestValue;
int chainLength;
ChainHighestValue(int highestValue,int chainLength) {
this.highestValue = highestValue;
this.chainLength = chainLength;
}
@Override
public int compareTo(ChainHighestValue o) {
return this.chainLength-o.chainLength;
}
}
public class LongestIncreasingSubsequenceLinkedList {
private static LinkedList<Integer> LongestSubsequent(int arr[], int size){
ArrayList<LinkedList<Integer>> seqList=new ArrayList<>();
ArrayList<ChainHighestValue> valuePairs=new ArrayList<>();
for(int i=0;i<size;i++){
int currValue=arr[i];
if(valuePairs.size()==0){
LinkedList<Integer> aList=new LinkedList<>();
aList.add(arr[i]);
seqList.add(aList);
valuePairs.add(new ChainHighestValue(arr[i],1));
}else{
try{
ChainHighestValue heighestIndex=valuePairs.stream().filter(e->e.highestValue<currValue).max(ChainHighestValue::compareTo).get();
int index=valuePairs.indexOf(heighestIndex);
seqList.get(index).add(arr[i]);
heighestIndex.highestValue=arr[i];
heighestIndex.chainLength+=1;
}catch (Exception e){
LinkedList<Integer> aList=new LinkedList<>();
aList.add(arr[i]);
seqList.add(aList);
valuePairs.add(new ChainHighestValue(arr[i],1));
}
}
}
ChainHighestValue heighestIndex=valuePairs.stream().max(ChainHighestValue::compareTo).get();
int index=valuePairs.indexOf(heighestIndex);
return seqList.get(index);
}
public static void main(String[] args){
int arry[]={5,1,3,6,11,30,32,5,3,73,79};
//int arryB[]={3,1,5,2,6,4,9};
LinkedList<Integer> LIS=LongestSubsequent(arry, arry.length);
System.out.println("Longest Incrementing Subsequence:");
for(Integer a: LIS){
System.out.print(a+" ");
}
}
}
動的プログラミングとメモ化を使用してJavaにLISを実装しました。コードとともに複雑さの計算を行いました。つまり、なぜO(n Log(base2)n)なのかです。理論的または論理的な説明は良いと思いますが、実際のデモンストレーションは理解のために常に優れています。
package com.company.dynamicProgramming;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
public class LongestIncreasingSequence {
static int complexity = 0;
public static void main(String ...args){
int[] arr = {10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80};
int n = arr.length;
Map<Integer, Integer> memo = new HashMap<>();
lis(arr, n, memo);
//Display Code Begins
int x = 0;
System.out.format("Longest Increasing Sub-Sequence with size %S is -> ",memo.get(n));
for(Map.Entry e : memo.entrySet()){
if((Integer)e.getValue() > x){
System.out.print(arr[(Integer)e.getKey()-1] + " ");
x++;
}
}
System.out.format("%nAnd Time Complexity for Array size %S is just %S ", arr.length, complexity );
System.out.format( "%nWhich is equivalent to O(n Log n) i.e. %SLog(base2)%S is %S",arr.length,arr.length, arr.length * Math.ceil(Math.log(arr.length)/Math.log(2)));
//Display Code Ends
}
static int lis(int[] arr, int n, Map<Integer, Integer> memo){
if(n==1){
memo.put(1, 1);
return 1;
}
int lisAti;
int lisAtn = 1;
for(int i = 1; i < n; i++){
complexity++;
if(memo.get(i)!=null){
lisAti = memo.get(i);
}else {
lisAti = lis(arr, i, memo);
}
if(arr[i-1] < arr[n-1] && lisAti +1 > lisAtn){
lisAtn = lisAti +1;
}
}
memo.put(n, lisAtn);
return lisAtn;
}
}
上記のコードを実行している間-
Longest Increasing Sub-Sequence with size 6 is -> 10 22 33 50 60 80
And Time Complexity for Array size 9 is just 36
Which is equivalent to O(n Log n) i.e. 9Log(base2)9 is 36.0
Process finished with exit code 0