Sieve of Eratosthenesアルゴリズムの時間の複雑さ

ウィキペディアから：

アルゴリズムの複雑さは O(n(logn)(loglogn))ビット操作です。

どうやってそこに着くの？

複雑さというloglogn用語が含まれているということは、sqrt(n)どこかにあることを私に教えてくれます。

最初の100個の数字（n = 100）でふるいを実行していると仮定します。数字を複合としてマークするのに一定の時間がかかる（配列の実装）と仮定すると、使用mark_composite()する回数は次のようになります。

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... + n/97        =      O(n^2)                         

そして、次の素数を見つけるには（たとえば、の7倍数であるすべての数に取り消し線を引いた後にジャンプする5）、操作の数はになりますO(n)。

したがって、複雑さはになりますO(n^3)。同意しますか？

1. n / 2 + n / 3 + n / 5 +…n / 97はO（n）ではありません。これは、項の数が一定でないためです。[編集後に編集：O（n ²）は上限が緩すぎます。]緩い上限はn（1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +…です。逆数の1 / N）（和全て OであるNまでの番号）、（N Nログ）：参照ハーモニック数。より適切な上限はn（1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…）です。これは、O（n log log n）であるnまでの素数の逆数の合計です。（ここまたはここを参照してください。）

2. 「次の素数を見つける」ビットは全体的にO（n）であり、償却されます。次の数値を見つけるために、ステップごとではなく、合計でn回だけ進みます。したがって、アルゴリズムのこの部分全体はO（n）のみを使用します。

したがって、これら2つを使用すると、O（n log log n）+ O（n）= O（n log log n）算術演算の上限が得られます。ビット演算を数えると、nまでの数を処理しているため、約log nビットがあり、log nの因数が入り、O（n log n log log n）ビット演算が得られます。

複雑さにloglogn項が含まれていることから、どこかにsqrt（n）があることがわかります。

Pふるい分けしているときに素数を見つけた場合、現在の位置で数値の取り消しを開始しないことに注意してください+ P。あなたは実際にで数字の取り消しを開始しますP^2。P未満のすべての倍数はP^2、以前の素数によって打ち消されます。

1. 内部ループはn/iステップを実行します。ここiで、prime =>全体の複雑さはsum(n/i) = n * sum(1/i)です。素数調和級数によれば、sum (1/i)where iis素数はlog (log n)です。合計で、O(n*log(log n))。

2. 私は、上側のループが交換することによって最適化することができると思うnとsqrt(n)その全体的な時間の複雑されますO(sqrt(n)loglog(n))：

   void isprime(int n)
   {
       int prime[n],i,j,count1=0;
       for(i=0;i<n;i++)
       {
          prime[i]=1;
       }
       prime[0]=prime[1]=0;
       for(i=2;i<=n;i++)
       {
           if(prime[i]==1)
           {
               printf("%d ",i);
               for(j=2;(i*j)<=n;j++)
                   prime[i*j]=0;
           }
       }    
   }
   

上記の説明を参照してください。内部ループは、sqrt（n）までのすべての素数の調和和です。したがって、の実際の複雑さはO（sqrt（n）* log（log（sqrt（n））））です。