約100個のノードと約200個のエッジを持つ無向グラフがあります。1つのノードには「start」というラベルが付けられ、もう1つは「end」というラベルが付けられ、「mustpass」というラベルが付けられたノードが約12個あります。
'start'で始まり、 'end'で終わり、すべての 'mustpass'ノードを（任意の順序で）通過する、このグラフの最短パスを見つける必要があります。
（http://3e.org/local/maize-graph.png / http://3e.org/local/maize-graph.dot.txtは問題のグラフであり、ペンシルバニア州ランカスターのトウモロコシの迷路を表しています）
回答:
これを巡回セールスマン問題と比較している他の誰もがおそらくあなたの質問を注意深く読んでいません。TSPの目的は、すべての頂点を訪問する最短のサイクル（ハミルトン閉路）を見つけることです。これは、「mustpass」というラベルの付いたすべてのノードを持つことに対応します。
あなたの場合、「mustpass」というラベルの付いたラベルが約12個しかなく、12個あるとすると！はかなり小さい（479001600）ので、「mustpass」ノードのみのすべての順列を試して、「mustpass」ノードにこの順序でアクセスする「start」から「end」までの最短パスを調べることができます。そのリスト内の2つの連続するノードごとの最短パスを連結します。
言い換えると、最初に頂点の各ペア間の最短距離を見つけます（ダイクストラのアルゴリズムなどを使用できますが、それらの数が少ない（100ノード）場合、コード化が最も簡単なFloyd-Warshallアルゴリズムでも時間内に実行されます）。次に、これをテーブルに入れたら、「mustpass」ノードのすべての順列と残りを試してください。
このようなもの：
//Precomputation: Find all pairs shortest paths, e.g. using Floyd-Warshall
n = number of nodes
for i=1 to n: for j=1 to n: d[i][j]=INF
for k=1 to n:
for i=1 to n:
for j=1 to n:
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])
//That *really* gives the shortest distance between every pair of nodes! :-)
//Now try all permutations
shortest = INF
for each permutation a[1],a[2],...a[k] of the 'mustpass' nodes:
shortest = min(shortest, d['start'][a[1]]+d[a[1]][a[2]]+...+d[a[k]]['end'])
print shortest
（もちろん、これは実際のコードではありません。実際のパスが必要な場合は、どの順列が最短距離を与えるか、またすべてのペアの最短パスが何であるかを追跡する必要がありますが、アイデアは得られます。）
妥当な言語では最大で数秒で実行されます：）
[n個のノードとk'mustpass 'ノードがある場合、その実行時間はFloyd-Warshall部分ではO（n 3）、O（k！n ）すべての順列部分について、100 ^ 3 +（12！）（100）は、実際に制限的な制約がない限り、実質的にピーナッツです。]
aをc通過する必要があると想像してくださいb。からbへの最短パスがエッジaをc共有している可能性があります。その場合、エッジは2回繰り返されます。サイクルを生成しないためには、2つのパスのいずれかが最適よりも悪い必要があります。
INFため、線はにd[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j])なりd[i][j] = min(INF, INF + INF)、すべてのセルは常にに等しくなりINFます。この配列をグラフのエッジの長さで埋めるステップを追加する必要があります。
ダイクストラのアルゴリズムを実行して、すべての重要なノード（開始、終了、および通過する必要がある）間の最短経路を見つけます。次に、深さ優先探索により、すべてのノードの開始に接触する結果のサブグラフを通る最短経路が示されます。 .mustpasses ...終了
これは2つの問題です...スティーブン・ロウはこれを指摘しましたが、問題の後半について十分な敬意を払っていませんでした。
最初に、すべての重要なノード（start、end、mustpass）間の最短パスを見つける必要があります。これらのパスが検出されると、簡略化されたグラフを作成できます。新しいグラフの各エッジは、元のグラフの1つの重要なノードから別の重要なノードへのパスです。ここで最短パスを見つけるために使用できるパスファインディングアルゴリズムはたくさんあります。
ただし、この新しいグラフを作成すると、巡回セールスマン問題が発生します（まあ、ほとんど...開始点に戻る必要はありません）。上記のこれに関する投稿はすべて適用されます。
実際、あなたが投稿した問題は巡回セールスマンに似ていますが、単純な経路探索問題に近いと思います。すべてのノードにアクセスする必要はなく、特定のノードのセットに可能な限り短い時間（距離）でアクセスする必要があります。
この理由は、巡回セールスマン問題とは異なり、コーンメイズでは、他のノードを通過せずに、マップ上の任意の1つのポイントから他のポイントに直接移動することができないためです。
検討する手法として、実際にはA *パスファインディングをお勧めします。これを設定するには、どのノードが他のどのノードに直接アクセスできるか、および特定のノードからの各ホップの「コスト」を決定します。この場合、ノードの間隔が比較的狭いように見えるため、各「ホップ」のコストは同じであるように見えます。A *はこの情報を使用して、任意の2つのポイント間の最低コストパスを見つけることができます。ポイントAからポイントBに移動し、その間の約12を訪問する必要があるため、パスファインディングを使用した力ずくのアプローチでもまったく問題はありません。
検討するための単なる代替手段。それは巡回セールスマン問題のように非常によく見えます、そしてそれらは読むのに良い論文です、しかしよく見るとそれがただ過度に複雑なことであることがわかります。^ _ ^これは、以前にこの種のことを扱ったことがあるビデオゲームプログラマーの心から来ています。
アンドリュートップは正しい考えを持っています：
1）ダイクストラのアルゴリズム2）いくつかのTSPヒューリスティック。
Lin-Kernighanヒューリスティックをお勧めします。これは、NP完全問題で最もよく知られているものの1つです。他に覚えておくべき唯一のことは、ステップ2の後でグラフを再度展開した後、展開されたパスにループがある可能性があるため、それらを短絡することを回避する必要があることです（パスに沿った頂点の程度を確認してください）。
私は実際、このソリューションが最適なソリューションと比較してどれほど優れているかわかりません。おそらく、短絡に関係するいくつかの病理学的症例があります。結局のところ、この問題はシュタイナー木によく似ています：http：//en.wikipedia.org/wiki/Steiner_treeそして、グラフを縮小してクラスカル法を実行するだけでは、シュタイナー木を概算することはできません。
これはTSPの問題ではなく、NP困難でもありません。元の質問では、通過する必要のあるノードに1回だけアクセスする必要がないためです。これにより、ダイクストラのアルゴリズムを介してすべての必須パスノード間の最短パスのリストをコンパイルした後、ブルートフォース攻撃を行うだけで答えがはるかに簡単になります。より良い方法があるかもしれませんが、簡単な方法は、単純に二分木を逆方向に操作することです。ノードのリスト[start、a、b、c、end]を想像してみてください。単純な距離を合計します[開始-> a-> b-> c->終了]これは、ビートする新しいターゲット距離です。ここで[start-> a-> c-> b-> end]を試してみて、それがターゲットとして設定したほうがよい場合（そして、それがノードのパターンから来たことを思い出してください）。順列を逆方向に処理します。
それらの1つが最短になります。
（「複数回アクセスされた」ノードがある場合はどこにありますか？それらは最短パス初期化ステップで非表示になっています。aとbの間の最短パスにはcまたはエンドポイントが含まれる場合があります。気にする必要はありません。 ）
ノードとエッジの数が比較的有限であることを考慮すると、おそらくすべての可能なパスを計算し、最短のパスを取ることができます。
一般に、これは巡回セールスマン問題として知られており、使用するアルゴリズムに関係なく、非決定論的な多項式ランタイムがあります。
質問は、任意の順序で合格する必要があることについて話します。通過しなければならないノードの定義された順序に関する解決策を探しています。私は自分の答えを見つけましたが、StackOverflowに同様の質問がなかったので、最大の人々がそれから利益を得ることができるようにここに投稿します。
順序または必須パスが定義されている場合は、ダイクストラのアルゴリズムを複数回実行できます。たとえば、sパススルーk1、k2およびk3（それぞれの順序で）から開始し、で停止する必要があると仮定しますe。次に、ノードの連続する各ペア間でダイクストラのアルゴリズムを実行することができます。コストとパスがで与えられることになります。
dijkstras(s, k1) + dijkstras(k1, k2) + dijkstras(k2, k3) + dijkstras(k3, 3)
ダースの「必見」ノードでブルートフォースを使用するのはどうですか。12ノードの可能なすべての組み合わせを簡単にカバーできます。これにより、それらをカバーするために従うことができる最適な回路が得られます。
これで、問題は、開始ノードから回路までの最適なルートを見つけることの1つに単純化されます。次に、それらをカバーするまでそれをたどり、そこから最後までのルートを見つけます。
最終パスは次のもので構成されます。
開始->回路へのパス*->ノードにアクセスする必要がある回路->終了へのパス*->終了
私が*でマークしたパスはこのように見つかります
開始ノードから回路上のすべてのポイントまでA *検索を実行し、これらのそれぞれについて、回路上の次のノードと前のノードから終了までA *検索を実行します（どちらの方向にも回路をたどることができるため）最終的には検索パスが多くなり、コストが最も低いものを選択できます。
検索をキャッシュすることで最適化の余地はたくさんありますが、これは良い解決策を生み出すと思います。
ただし、最適な解決策を探すことにはほど遠いです。それは、検索内で必見の回路を離れることを伴う可能性があるためです。