2 ^ nとn * 2 ^ nは同じ時間の複雑さですか？

時間の複雑さについて私が見つけたリソースは、特に非多項式の例で、時間の複雑さの方程式の項を無視してもよいかについては不明です。

n ² + n + 1の形式が与えられた場合、最後の2つの項は重要ではないことは明らかです。

具体的には、2つの分類2 ⁿとn *（2 ⁿ）が与えられた場合、2 ^番目の分類は最初の分類と同じ順序ですか？追加のn乗算は重要ですか？通常、リソースは、x ⁿが指数関数であり、はるかに速く成長するというだけです...次に進みます。

2 ⁿがⁿを大幅に上回らないので、なぜそうならないのか理解できますが、2つを加算していないため、2つの方程式を比較するときに非常に重要です。実際、それらの差は常にnの因数となります。控えめに言っても重要なようです。

Oこの質問に答えるには、ビッグO（）の正式な定義に移動する必要があります。

定義は、制限が存在する、つまり無限ではない場合にのみf(x)属します。定数が存在することをこの短い手段は、のような値を超えることはありません。O(g(x))limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

ご質問の場合は、let and letしてください。その後、それはまだ無限に成長します。したがって、に属していません。f(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n))

それn⋅2ⁿが大きいことをすばやく確認するには、変数を変更します。みましょうm = 2ⁿ。その後n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m（の両側に2を底とする対数を取ってm = 2ⁿいますn = log₂m）、あなたは簡単にそれを示すことができるm log₂mよりも速く成長しますm。

それn⋅2ⁿはにはないことに同意しますがO(2ⁿ)、優れた使用法の制限が常に満たされるとは限らないため、より明確にする必要があると思いました。

：ビッグOの正式な定義によってf(n)であるO(g(n))定数が存在する場合c > 0やn₀ ≥ 0、すべてのためになるようにn ≥ n₀、我々は持っていますf(n) ≤ c⋅g(n)。容易にそのような定数のために存在しないことを示すことができるf(n) = n⋅2ⁿとg(n) = 2ⁿ。ただし、にあることを示すことg(n)ができますO(f(n))。

言い換えれば、n⋅2ⁿはによって下限が定められてい2ⁿます。これは直感的です。これらは両方とも指数関数的であり、したがってほとんどの実際的な状況で使用される可能性は等しくありませんが、2ⁿ必ずしもより遅くなるため、同じ順序であるとは言えませんn⋅2ⁿ。

私はそれn⋅2ⁿがよりも速く成長するという他の答えとは論争しません2ⁿ。しかし、n⋅2ⁿ成長はまだ指数関数的です。

アルゴリズムについて話すとき、時間の複雑さが増大することは指数関数的であるとよく言います。だから、私たちはあることを考える2ⁿ、3ⁿ、eⁿ、2.000001ⁿ、または当社のn⋅2ⁿ指数が成長と複雑さの同じグループであることを。

それを少し数学的な意味を与えるために、我々は、機能を検討しf(x)、そのような定数が存在する指数関数的にあれば（ないよりも速く）成長するc > 1ことを、。f(x) = O(cx)

以下のためにn⋅2ⁿ、一定c以上の任意の数の大きい可能性が2レッツ・テイク、3。次に：

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿこれは以下である1すべてのためn。

したがって、2ⁿはより遅く成長しn⋅2ⁿ、最後はより遅く成長します2.000001ⁿ。しかし、3つすべてが指数関数的に成長します。

「2番目は1番目と同じ順序ですか？追加のn乗算は重要ですか？」これらは、2つの異なる答えを持つ2つの異なる質問です。

n 2 ^ nは2 ^ nより漸近的に成長します。それが答えられた質問です。

しかし、「アルゴリズムAが2 ^ nナノ秒かかり、アルゴリズムBがn 2 ^ nナノ秒かかる場合、1秒/分/時間/日/月/年で解を見つけることができる最大のnは何ですか？答えはn = 29/35/41/46/51/54対25/30/36/40/45/49です。実際にはそれほど違いはありません。

時間Tで解決できる最大の問題のサイズは、どちらの場合もO（ln T）です。