グラフィックについては、整数を好むのではなく、多くのシステムはUIの描画に整数を使用しますが（ピクセルは結局intです）、たとえばmacOSはすべてに浮動小数点を使用します。macOSはポイントのみを認識し、ポイントは1ピクセルに変換できますが、モニターの解像度によっては、別のピクセルに変換される場合があります。網膜スクリーンでは、半分のポイント（0.5 / 0.5）がピクセルです。それでも、macOSのUIが他のUIよりも大幅に遅いことに気づきませんでした。結局のところ、3D API（OpenGLまたはDirect3D）もフロートで動作し、最新のグラフィックライブラリはGPUアクセラレーションを利用することがよくあります。
さて、速度が主な関心事だとおっしゃいましたが、さあ、速度を上げましょう。高度なアルゴリズムを実行する前に、まず簡単なテストを行ってください。軸合わせの境界ボックスを作成するポリゴンの周囲に。これは非常に簡単で高速で、すでに多くの計算を安全にすることができます。それはどのように機能しますか？ポリゴンのすべてのポイントを反復処理し、XとYの最小値/最大値を見つけます。
例えばあなたはポイントを持っています(9/1), (4/3), (2/7), (8/2), (3/6)。これは、Xminが2、Xmaxが9、Yminが1、Ymaxが7であることを意味します。2つのエッジ（2/1）と（9/7）を持つ長方形の外側のポイントは、ポリゴン内に存在できません。
// p is your point, p.x is the x coord, p.y is the y coord
if (p.x < Xmin || p.x > Xmax || p.y < Ymin || p.y > Ymax) {
// Definitely not within the polygon!
}
これは、任意の時点で実行する最初のテストです。ご覧のとおり、このテストは超高速ですが、非常に粗いです。外接する四角形内のポイントを処理するには、より高度なアルゴリズムが必要です。これを計算する方法はいくつかあります。どちらの方法が機能するかは、ポリゴンに穴を開けることができるか、または常にソリッドであるかによっても異なります。以下はソリッドの例です（1つは凸、1つは凹）。
そしてここに穴のあるものがあります：
緑は真ん中に穴があいています！
上記の3つすべてのケースを処理でき、それでもかなり高速な最も簡単なアルゴリズムは、レイキャスティングと呼ばれます。アルゴリズムの考え方は非常に単純です。ポリゴンの外側からポイントまで仮想光線を描画し、ポリゴンの側面に当たる頻度を数えます。ヒット数が偶数の場合はポリゴンの外側、奇数の場合は内側です。
巻き数のアルゴリズムは、代替となり、それは非常に近いポリゴンラインにあることのポイントのために、より正確であるが、それはまた、はるかに遅いです。レイキャスティングは、浮動小数点の精度と丸めの問題のため、ポリゴンの側面に近すぎるポイントでは失敗する可能性がありますが、実際にはほとんど問題になりません。ビューアがすでに内側か外側かを認識するビューア。
あなたはまだ上記の境界ボックスを持っています、覚えていますか？境界ボックスの外側の点を選択して、光線の開始点として使用してください。たとえば、ポイント(Xmin - e/p.y)は確かにポリゴンの外にあります。
しかし、何ですか eですか？まあ、e（実際にはイプシロン）バウンディングボックスにいくつかのパディングを与えます。先ほど述べたように、多角形のラインに近づきすぎると、レイトレーシングが失敗します。バウンディングボックスはポリゴンと等しい場合があるため（ポリゴンが軸に揃えられた長方形の場合、バウンディングボックスはポリゴン自体と同じです）、これを安全にするためにいくつかのパディングが必要です。どのくらいの大きさを選ぶべきですかe？大きすぎません。描画に使用する座標系のスケールによって異なります。ピクセルステップ幅が1.0の場合は、1.0を選択します（ただし、0.1も機能します）。
これで、開始座標と終了座標を持つ光線が得られたので、問題は「ポリゴン内の点です」から「光線がポリゴンの側面と交差する頻度」に変わります。したがって、以前のようにポリゴンポイントを操作するだけではなく、実際の辺が必要になります。辺は常に2つの点で定義されます。
side 1: (X1/Y1)-(X2/Y2)
side 2: (X2/Y2)-(X3/Y3)
side 3: (X3/Y3)-(X4/Y4)
:
すべての面に対して光線をテストする必要があります。光線をベクトル、すべての辺をベクトルと見なします。光線は、各面を正確に1回だけヒットするか、まったくヒットしない必要があります。同じ側を2回攻撃することはできません。2D空間の2本の線は、平行でない限り、常に1回だけ交差します。平行である場合は、交差しません。ただし、ベクトルの長さには制限があるため、2つのベクトルは短すぎて互いに出会うことができないため、平行でなくても交差しない場合があります。
// Test the ray against all sides
int intersections = 0;
for (side = 0; side < numberOfSides; side++) {
// Test if current side intersects with ray.
// If yes, intersections++;
}
if ((intersections & 1) == 1) {
// Inside of polygon
} else {
// Outside of polygon
}
これまでのところ、2つのベクトルが交差するかどうかをどのようにテストしますか？これはいくつかのCコード（テストされていません）です。
#define NO 0
#define YES 1
#define COLLINEAR 2
int areIntersecting(
float v1x1, float v1y1, float v1x2, float v1y2,
float v2x1, float v2y1, float v2x2, float v2y2
) {
float d1, d2;
float a1, a2, b1, b2, c1, c2;
// Convert vector 1 to a line (line 1) of infinite length.
// We want the line in linear equation standard form: A*x + B*y + C = 0
// See: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_equation
a1 = v1y2 - v1y1;
b1 = v1x1 - v1x2;
c1 = (v1x2 * v1y1) - (v1x1 * v1y2);
// Every point (x,y), that solves the equation above, is on the line,
// every point that does not solve it, is not. The equation will have a
// positive result if it is on one side of the line and a negative one
// if is on the other side of it. We insert (x1,y1) and (x2,y2) of vector
// 2 into the equation above.
d1 = (a1 * v2x1) + (b1 * v2y1) + c1;
d2 = (a1 * v2x2) + (b1 * v2y2) + c1;
// If d1 and d2 both have the same sign, they are both on the same side
// of our line 1 and in that case no intersection is possible. Careful,
// 0 is a special case, that's why we don't test ">=" and "<=",
// but "<" and ">".
if (d1 > 0 && d2 > 0) return NO;
if (d1 < 0 && d2 < 0) return NO;
// The fact that vector 2 intersected the infinite line 1 above doesn't
// mean it also intersects the vector 1. Vector 1 is only a subset of that
// infinite line 1, so it may have intersected that line before the vector
// started or after it ended. To know for sure, we have to repeat the
// the same test the other way round. We start by calculating the
// infinite line 2 in linear equation standard form.
a2 = v2y2 - v2y1;
b2 = v2x1 - v2x2;
c2 = (v2x2 * v2y1) - (v2x1 * v2y2);
// Calculate d1 and d2 again, this time using points of vector 1.
d1 = (a2 * v1x1) + (b2 * v1y1) + c2;
d2 = (a2 * v1x2) + (b2 * v1y2) + c2;
// Again, if both have the same sign (and neither one is 0),
// no intersection is possible.
if (d1 > 0 && d2 > 0) return NO;
if (d1 < 0 && d2 < 0) return NO;
// If we get here, only two possibilities are left. Either the two
// vectors intersect in exactly one point or they are collinear, which
// means they intersect in any number of points from zero to infinite.
if ((a1 * b2) - (a2 * b1) == 0.0f) return COLLINEAR;
// If they are not collinear, they must intersect in exactly one point.
return YES;
}
入力値は、ベクトル1（および）およびベクトル2（および）の2 つの端点です。したがって、2つのベクトル、4つのポイント、8つの座標があります。そして明確です。交差を増やし、何もしません。v1x1/v1y1v1x2/v1y2v2x1/v2y1v2x2/v2y2YESNOYESNO
COLLINEARはどうですか？これは、両方のベクトルが同じ無限線上にあり、位置と長さに応じて、まったく交差しないか、無限の数の点で交差することを意味します。私はこのケースをどのように処理するか絶対にわかりません、私はどちらの方法でも交差として数えません。とにかく、浮動小数点の丸め誤差のため、実際にはこのケースはかなりまれです。より良いコードはおそらくテストしないでしょう== 0.0fが、代わりにのようなもの< epsilonで、イプシロンはかなり小さい数です。
より多くのポイントをテストする必要がある場合は、多角形の辺の線形方程式の標準形式をメモリに保持することで、全体を少し高速化できるため、毎回これらを再計算する必要はありません。これにより、ポリゴンサイドごとに3つの浮動小数点値をメモリに格納する代わりに、すべてのテストで2つの浮動小数点乗算と3つの浮動小数点減算を節約できます。これは、典型的なメモリと計算時間のトレードオフです。
最後に重要なことですが、問題を解決するために3Dハードウェアを使用する場合、興味深い代替手段があります。GPUにすべての作業を任せてください。画面外のペイントサーフェスを作成します。黒で完全に塗ります。次に、OpenGLまたはDirect3Dでポリゴン（または、ポイントがそれらのいずれかにあるかどうかをテストしたい場合はすべてのポリゴンをペイントしますが、どのポリゴンでもかまいません）をペイントして、ポリゴンを別のポリゴンで塗りつぶします色、例えば白。ポイントがポリゴン内にあるかどうかを確認するには、描画面からこのポイントの色を取得します。これは単なるO（1）メモリフェッチです。
もちろん、この方法は、描画面を大きくする必要がない場合にのみ使用できます。GPUメモリに収まらない場合、この方法はCPUで行うよりも遅くなります。巨大である必要があり、GPUが最新のシェーダーをサポートしている場合でも、上記のレイキャスティングをGPUシェーダーとして実装することでGPUを使用できますが、これは絶対に可能です。より多くのポリゴンまたは多数のポイントをテストする場合、これは報われます。一部のGPUは64〜256ポイントを並行してテストできることを考慮してください。ただし、CPUからGPUへのデータ転送とその逆の転送には常にコストがかかるため、ポイントまたはポリゴンのいずれかが動的で頻繁に変更されるいくつかの単純なポリゴンに対していくつかのポイントをテストするだけの場合、GPUアプローチはほとんど効果がありませんオフ。
