log（n！）=Θ（n・log（n））ですか？

私はそれを示すために午前ログを（N！）=Θ（nは・ログ（N）） 。

上限をn ⁿで示し、下限を（n / 2）^{（n / 2）で}示すべきであるというヒントが与えられました。これは私にはそれほど直感的に思えません。なぜそうなのでしょうか？n ⁿをn・log（n）に変換する方法（つまり、方程式の両辺をログに記録する方法）は確実にわかりますが、それは一種の逆の作業です。

この問題に取り組むための正しいアプローチは何でしょうか？再帰ツリーを描画する必要がありますか？これについて再帰的なことは何もないので、それはありそうなアプローチとは思えません。

覚えて

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

あなたは上限を得ることができます

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

そして、あなたは合計の前半を捨てた後に同様のことをすることによって下限を得ることができます：

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2) 

これは非常に古い質問であり、回答は承認されていますが、これらの回答はいずれも、ヒントで提案されているアプローチを実際に使用していません。

それはかなり単純な議論です：

n!（= 1 * 2 * 3 * ... * n）は、nそれぞれより小さいか等しい数値の積ですn。したがって、nすべてに等しい数の積よりも小さいnです。すなわち、n^n。

製品の数値の半分（つまりn/2、それらの数）n!は、以上ですn/2。したがって、それらの積は、n/2すべてに等しい数の積よりも大きくなりn/2ます。すなわち(n/2)^(n/2)。

結果を確認するために、全体を通してログを取ります。

申し訳ありませんが、stackoverflowでLaTeX構文を使用する方法がわかりません。

スターリングの近似を参照してください。

ln（n！）= n * ln（n）-n + O（ln（n））

ここで、最後の2つの用語は最初の用語よりも重要ではありません。

下限については、

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg（n！）> =（1/2）（n lg n-1）

両方の境界を組み合わせる：

1/2（n lg n-1）<= lg（n！）<= n lg n

（1/2）より大きい下限定数を選択することで、ブラケット内の-1を補正できます。

したがって、lg（n！）= Theta（n lg n）

ミック・シャープがあなたを置き去りにした、あなたをさらに助ける：

導出は非常に簡単です。http：//en.wikipedia.org/wiki/Logarithm- > Group Theoryを参照してください

log（n！）= log（n *（n-1）*（n-2）* ... * 2 * 1）= log（n）+ log（n-1）+ ... + log（2 ）+ log（1）

nは無限に大きいものと考えてください。無限マイナス1とは何ですか？またはマイナス2？等

log（inf）+ log（inf）+ log（inf）+ ... = inf * log（inf）

そして、infをn と考えます。

おかげで、あなたの答えは説得力のあるものでしたが、私の場合は、Θプロパティを使用する必要があります。

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

問題を確認するために、すべてのプロセスを説明しているこのWebを見つけました：http : //www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

これは役立つかもしれません：

e ln（x） = x

そして

（l m）n = l m * n

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation スターリング近似が役立つ場合があります。10 ^ 10以上の桁数の階乗に関連する階乗の問題を処理するのに非常に役立ちます。